Question

Решить ураанение с разделяющими переменными 2y'√x=y,если y(0)=1

Answer 1

$2y' \sqrt{x} =y$
нам нужно решить задачу Коши.
Разрешим наше уравнение относительно производной.
$y'= \frac{y}{2 \sqrt{x} }$

Переходя к диффиринциалам, получим:

$\frac{dy}{dx}= \frac{y}{2 \sqrt{x} }$ - уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные
$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2 \sqrt{x} }$ - уравнение с разделёнными переменнами

Проинтегрируем обе части уравнения

$\int\limits{\frac{dy}{y}} = \int\limits { \frac{dx}{2 \sqrt{x} }}$

$\ln|y|= \sqrt{x} +C$ - общий интеграл

Найдем частный интеграл
$\ln|1|= \sqrt{0}+C\\ C=0$

Частный интеграл: $\boxed{\ln y= \sqrt{x} }$