Question

Решите систему 4x^2+xy=20y 4xy+y^2=5x

Answer 1

Чтобы решить данную систему уравнений, мы воспользуемся методом подстановки.

1) Выразим одну из переменных через другую из любого уравнения:
Исходные уравнения: 4x^2 + xy = 20y и 4xy + y^2 = 5x.

Давайте выразим переменную y через x из первого уравнения:
4x^2 + xy = 20y
xy - 20y = -4x^2
y(x - 20) = -4x^2
y = -4x^2 / (x - 20)

2) Подставим полученное выражение для y во второе уравнение:
4xy + y^2 = 5x
4x(-4x^2 / (x - 20)) + (-4x^2 / (x - 20))^2 = 5x

3) Упростим выражение:
-16x^3 / (x - 20) + (16x^4) / (x - 20)^2 = 5x

4) Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на (x - 20)^2:
-16x^3(x - 20) + 16x^4 = 5x(x - 20)^2

5) Упростим уравнение:
-16x^4 + 320x^3 + 16x^4 = 5x(x^2 - 40x + 400)
320x^3 = 5x(x^2 - 40x + 400)
320x^3 = 5x^3 - 200x^2 + 2000x

6) Перенесем все слагаемые влево:
5x^3 - 320x^3 - 200x^2 + 2000x = 0

7) Факторизуем общий множитель:
x(5x^2 - 320x - 40x + 2000) = 0
x(5x(x - 64) - 40(x - 50)) = 0
x(x - 64)(5x - 40) = 0

Таким образом, получаем три возможных значения переменной x:
1) x = 0
2) x - 64 = 0 (откуда x = 64)
3) 5x - 40 = 0 (откуда x = 8)

8) Подставим полученные значения x обратно в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y:
a) При x = 0:
y = -4(0)^2 / (0 - 20)
y = 0
Итак, первая пара значений (x, y) равна (0, 0).

б) При x = 64:
y = -4(64)^2 / (64 - 20)
y = -4(4096) / 44
y = -4096 / 11
Итак, вторая пара значений (x, y) равна (64, -4096/11).

в) При x = 8:
y = -4(8)^2 / (8 - 20)
y = -256 / (-12)
y = 128 / 6
Итак, третья пара значений (x, y) равна (8, 128/6) или (8, 64/3).

Ответ: система уравнений имеет три решения:
(0, 0), (64, -4096/11) и (8, 128/6) или (8, 64/3).