Правило: чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1)разложить их на простые множители; 2)выписать те множители, которые входят в разложение каждого из чисел; 3)найти произведение этих множителей. Примеры: а)найти НОД (6600; 6300): 6600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 11, 6300 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7, НОД (6600; 6300) = 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 300; б)найти НОД (34 398; 1260; 6552): 34 398 - 2 • 3 • 3 • 3 • 7 • 7 • 13, 1260 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 7, 6562 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 • 13, НОД (34 398; 1260; 6652) = 2 • 3 • 3 • 7 = 126. При нахождении наибольшего общего делителя двух чисел полезно знать еще одно правило, называемое «алгоритмом Евклида». Пример. Найти НОД (270; 186). Разделим 270 на 186 с остатком: 270 : 186 = 1 (ост. 84). Далее разделим делитель на остаток и т. д.: 186 : 84 = 2 (ост. 18), 84 : 18 = 4 (ост. 12), 18 : 12 = 1 (ост. 6), 12 : 6 = 2 (ост. 0). Наибольшим общим делителем чисел 270 и 186 является последний ненулевой остаток, т. е. число 6. Пример. Найти НОД (234; 180). 1)234 : 180 = 1 (ост. 54), 2)180: 54 = 3 (ост. 18), 3)54 : 18 = 3 (ост. 0). Следовательно, НОД (234; 180) = 18. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице. Примеры: а)75 и 14 — взаимно простые числа, так как НОД (75; 14)= 1; б)20, 9 и 77 взаимно простые числа, так как НОД (20; 9; 77) = 1. Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится на а без остатка. Примеры: а) для числа 18 кратными являются числа: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д.;б) для числа 7 кратными являются числа: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 и т. д. Итак, нужно запомнить: 1)любое число имеет бесконечное число кратных; 2)наименьшим кратным для числа является само это число. Общим кратным для двух и более чисел будет число, которое является кратным для каждого из этих чисел. Примеры: а)для числа 8 кратные: 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; Для числа 12 кратные: 12; 24; 36; 48; 60; 72; Таким образом, общими кратными для чисел 8 и 12 являются числа: 24; 48; 72; 96; ... . б)для числа 7 кратные: 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; Для числа 3 кратные: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21;24; ... . Общими кратными чисел 3 и 7 являются числа: 21; 42; 63 и т. д.
Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене, для этого сначала вынесем за скобки 2: 2(х²-2х+1)=2(х-1)² Строим параболу у = 2(х-1)² Вершина параболы в точке х=1, у=0 Парабола пересекает ось Оу в точке х=0, у=2·0-4·0+2=2 Дополнительные точки для построения: х=2, у=2 х=-1 у=8 х=3, у=8 Прямую у=х+3 построим по точкам (0;3) и (-3;0) См. рисунок. Для более точного подсчета корней решаем уравнение 2х²-4х+2=х+3, или 2х²-5х-1=0, х₁=(5-√33)/4≈-0,18 или х₂=(5+√33)/4≈2,6 х₁≈ -0,18;х₂ ≈2,6. тогда у₁=3+х₁≈3-0,18=2,82 у₂=3+х₂≈3+2,6=5,6
