Проверить сходимость ряда можно несколькими Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку
то данный ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.
Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:
здесь
a
n
и
a
n
1
соответственно n-ый и (n+1)-й члены ряда, а сходимость определяется значением D: Если D < 1 - ряд сходится, если D > 1 - расходится. При D = 1 - данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда
∞
n
0
n
4
n
с признака Даламбера. Сначала запишем выражения для
a
n
n
4
n
и
a
n
1
n
1
4
n
1
. Теперь найдем соответствующий предел:
lim
n
∞
a
n
1
a
n
lim
n
∞
n
1
4
n
4
n
1
n
lim
n
∞
n
1
4
n
1
4
lim
n
∞
1
1
n
1
4
Поскольку
1
4
<
1
, в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.
Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:
lim
n
∞
n
a
n
D
здесь
a
n
n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением D: Если D < 1 - ряд сходится, если D > 1 - расходится. При D = 1 - данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда
∞
n
0
5
n
1
2
n
5
6
n
2
с радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для
a
n
5
n
1
2
n
5
6
n
2
. Теперь найдем соответствующий предел:
lim
n
∞
n
a
n
lim
n
∞
n
5
n
1
2
n
5
6
n
2
lim
n
∞
5
n
1
2
n
5
6
n
2
n
lim
n
∞
5
n
1
2
n
5
6
2
n
lim
n
∞
5
n
1
n
2
n
5
n
6
2
n
lim
n
∞
5
1
n
2
5
n
6
2
n
lim
n
∞
5
1
n
2
5
n
6
lim
n
∞
5
1
n
2
5
n
2
n
5
2
6
15625
64
Поскольку
15625
64
>
1
, в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.
Пошаговое объяснение:
Группа учёных приехала на конференцию. Их разместили, предоставив в гостинице 17 комнат. Среди них были двухместные и трёхместные номера. Всего удалось разместить 47 человек. Сколько было номеров каждого типа?
Решение.
1) 3 * 17 = 51 - Подбираем максимальное количество трёхместных номеров. Не подошло.
2) 3 * 16 = 48 - Подбираем максимальное количество трёхместных номеров. Не подошло.
3) 3 * 15 = 45 - Подбираем максимальное количество трёхместных номеров. Не совсем подошло.
4) 3 * 14 = 42 - Подошло.
5) 47 - 42 = 5 - 5 человек необходимо поселить в двухместные номера.
6) 17 - 14 = 3 Высчитываем количество возможного использования номеров. Можем использовать 3 номера.
7) 3 * 2 = 6 - Высчитываем, сколько человек можно поселить в 3 двухместных номера. Шесть человек можно поместить в три двухместных номера.
8) 5 < 6 - У нас сошлось количество оставшихся людей с количеством места в номерах.
9) 14 + 3 = 17 - Мы использовали все 17 номера.
ответ: 14 трёхместных и 3 двухместных номера.
за 2 года (1,15)^2=1.3225
за 3 года(1,15)^3=1.520875
400000×1,520875=608350тг
ответ: 608350 тг