Question

Y=x^3 y=4x найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

Answer 1

Найдем, где первая функция лежит выше второй, а где ниже:
$x^3\geq 4x\\x^3-4x\geq0\\x(x^2-4)\geq0\\x(x-2)(x+2)\geq0\\x\in[-2;0]\cup[2;+\infty)$
Соответственно разбиваем на 4 участка:
1) $x\in(-\infty;-2)$
Первая функция лежит всюду ниже второй. Фигура не ограничена. Не учитываем.
2) $x\in[-2;0]$
Ограниченная фигура - первая функция лежит не ниже второй. Поэтому площадь будет:
$\int\limits^{0}_{-2} {x^3-4x} \, dx =({x^4\over4}-2x^2)|^{^0}_{_{-2}}=8-{16\over4}=4$
3) $x\in[0;2]$
Ограниченная фигура - первая функция лежит не выше второй. Поэтому площадь будет:
$\int\limits^{2}_{0} {4x-x^3} \, dx =(2x^2-{x^4\over4})|^{^2}_{_{0}}=8-{16\over4}=4$
4)$x\in(2;+\infty)$
Первая функция лежит всюду выше второй. Фигура не ограничена. Не учитываем.
Суммарно:
$4+4=8$