Уравнение гиперболы выразим в каноническом виде. (х²/4²) - (у²/1²) = 1. Имеем a = 4 и b = 1. Уравнение асимптоты гиперболы x^2-16y^2=16 с положительным угловым коэффициентом: у = (1/4)х. Для параллельной прямой угловой коэффициент сохраняется. у = (1/4)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки А: -2 = (1/4)*5 + в. Отсюда в = -2 - (5/4) = -13/4. Получаем уравнение прямой у = (1/4)х - (13/4). График дан в приложении.
2) Так как одна сторона угла параллельна оси Ох, то угловой коэффициент его биссектрисы в уравнении прямой равен тангенсу угла наклона. Выразим уравнение биссектрисы относительно у: х - 2у + 6 = 0, у = (1/2)х + 3. tg(α) = 1/2.
Вторая сторона угла имеет двойной угол наклона к оси Ох. tg(2α) = 2tg(α)/(1 - tg²(α)) = 2*(1/2)/(1-(1/4)) = 1/(3/4) = 4/3. Значит, к2 = 4/3. Уравнение второй стороны угла у = (4/3)х + в. Найдём вершину угла как точку пересечения у = 2 и х - 2у + 6 = 0. Для этого подставим во второе уравнение у = 2: х - 2*2 + 6 = 0, х = -2, а у = 2 (точка пересечения лежит на прямой у = 2). Для определения параметра в подставим эти координаты: 2 = (4/3)*(-2) + в, в = 2 + (8/3) = 14/3. Имеем уравнение второй стороны угла: у = (4/3)х + (14/3).
Записать уравнение касательной и нормали, к кривой y=ln(x) в точке x₀=3.
Решение Уравнение касательной к кривой в точке с координатами (x₀;y₀) определяет уравнение y - y₀ = y'(x₀)·(x - x₀) где y'(х₀) - производная исходной функции в точке касания. Найдем производную функции y'(x) = (ln(x))' =1/x Значение производной в точке х₀=3 y'(3) =1/3 Координаты точки касания: х₀ = 3; у₀ = ln(3) Запишем уравнение касательной к кривой y=ln(x) в точке х₀=3 y - ln(3) = (1/3)(x - 3) y = x/3 - 1 + ln(3) Уравнение касательной определяется уравнением y - y₀ = -(1/y'(x₀))·(x - x₀) y - ln(3) = -3·(x - 3) y = -3x + 9 + ln(3)
