Примеры решений задач о выборе шаров
Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
Подставляем в формулу (1) значения: K=10, N−K=8, итого N=10+8=18, выбираем n=5 шаров, из них должно быть k=2 белых и соответственно, n−k=5−2=3 черных. Получаем:
P=C210⋅C38C518=45⋅568568=517=0.294.
Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.
Подставляем в формулу (1) значения: K=5 (белых шаров), N−K=5 (красных шаров), итого N=5+5=10 (всего шаров в урне), выбираем n=2 шара, из них должно быть k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0 красных. Получаем:
P=C25⋅C05C210=10⋅145=29=0.222.
Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?
Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
A= (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: A=A1+A2, где
A1= (Выбраны 2 белых шара),
A2= (Выбраны 2 черных шара).
Выпишем значения параметров: K=4 (белых шаров), N−K=2 (черных шаров), итого N=4+2=6 (всего шаров в корзине). Выбираем n=2 шара.
Для события A1 из них должно быть k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0 черных. Получаем:
P(A1)=C24⋅C02C26=6⋅115=25=0.4.
Для события A2 из выбранных шаров должно оказаться k=0 белых и n−k=2 черных. Получаем:
P(A2)=C04⋅C22C26=1⋅115=115.
Тогда вероятность искомого события (вынутые шары одного цвета) есть сумма вероятностей этих событий:
P(A)=P(A1)+P(A2)=25+115=715=0.467.
х - цена жевательной резинки; 1,70 = 170 центов
у - цена шоколадной конфеты; 1,30 = 130 центов
Составим систему уравнений по условию задачи и решим её методом алгебраического сложения:
{5х + 8у = 170
{7х + 4у = 130
- - - - - - - - - - -
12х + 12у = 300
Разделим обе части на 12
х + у = 25 ⇒ х = (25 - у)
Подставим значение х в любое уравнение системы
5 · (25 - у) + 8у = 170 или 7 · (25 - у) + 4у = 130
125 - 5у + 8у = 170 175 - 7у + 4у = 130
3у = 170 - 125 -3у = 130 - 175
3у = 45 -3у = -45
у = 45 : 3 у = -45 : (-3)
у = 15 у = 15
Подставим значение у в любое уравнение системы
5х + 8 · 15 = 170 или 7х + 4 · 15 = 130
5х + 120 = 170 7х + 60 = 130
5х = 170 - 120 7х = 130 - 60
5х = 50 7х = 70
х = 50 : 5 х = 70 : 7
х = 10 х = 10
ответ: 15 центов - цена жевательной резинки и 10 центов - цена шоколадной конфеты.
