Question

Вера задумала натуральное число, но потом решила, что оно слишком маленькое, и переставила последнюю цифру числа в начало, в результате чего число увеличилось ровно вдвое. какое наименьшее число могла задумать вера?

Answer 1

Ну и задачка)

Число A имеет вид

$$x_n10^n+x_{n-1}10^{n-1}+...+x_0$

Число B (число А после перестановки) имеет вид

$x_010^n+x_n10^{n-1}+...+x_1$

2А=B

$2x_n10^n+2x_{n-1}10^{n-1}+...+2x_0=x_010^n+x_n10^{n-1}+...+x_1$

$x_n(2\cdot10^n-10^{n-1})+x_{n-1}(2\cdot 10^{n-1}-10^{n-2})+...+x_1(2\cdot 10^1-1)=x_0(10^n-2)$

$x^n10^{n-1}(20-1)+x_{n-1}10^{n-2}(20-1)+...+x_1(20-1)=x_0(10^n-2)$

$19(x_n10^{n-1}+x_{n-1}10^{n-2}+...+x_1)=x_0(10^n-2)$

Далее анализируем. Выражение справа должно делиться на 19. Но так как 19 - простое число, а все коэффициенты $x_i, 1\leq i\leq n$ являются цифрами, то есть натуральными числами с 1 по 9, то x0 не разделится на 19 никак, а значит, $10^n-2$ делится на 19.

Признак делимости на 19 есть, конечно: число без последней цифры + удвоенная последняя цифра ( их сумма имеется в виду) должна делиться на 19. Можно применять последовательно. Но я как-то не вижу возможности в общем виде это расписать. $n \in \mathbb{N}$, естественно. В общем, мучаясь и страдая, подбором получаем

$n=17$

И поделив на 19 число 99999999999999998, получаем 5263157894736842. Но что это? Если посмотрим на выражение

$x_n10^{n-1}+x_{n-1}10^{n-2}+...+x_1$

то станет ясно, что это записанное число до перестановки без последней цифры

а выражение справа получается

$5263157894736842\cdot x_0$

Теперь надо подобрать натуральное решение этого уравнения.

Анализируем возможные $x_0$

1 быть не может, так как получится это же число, к нему в конец должна добавиться 1 (х0) но там спереди 5, а на будет конце 1, а при переставлении число должно удвоиться, а так как разрядность чисел одинакова, то старший коэффициент должен тоже минимум удвоиться, а здесь такого нет.

А вот что будет при 2:

$5263157894736842\cdot 2=10526315789473684$

Удивительно, но при добавлении 2 в конце, которая потом пойдет вперед число вполне себе удваивается. Проверим

$105263157894736842$

Переставив 2 в начало, получим $210526315789473684$

Ну и поделив второе на первое, получим

$$\frac{210526315789473684}{105263157894736842}=2$

Работает. Удивительно, что Вере это число показалось малым))

ответ: $\boxed{105263157894736842}$