Question

Может кто умеет? нужно найти сумму числового ряда (бесконечноть; n=1) 1/(n^2+9n+18). решите

Answer 1

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2+9n+18}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(n+3)(n+6)}=\frac{1}{3}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(n+6)-(n+3)}{(n+3)(n+6)}=\\ \\ \\ =\frac{1}{3}\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+6}\right)=\frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}-\frac{1}{9}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\frac{1}{8}-\\ \\ \\ -\frac{1}{11}+...+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+4}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+5}+\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+6}\bigg)=$

$\displaystyle=\frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+5}-\frac{1}{n+6}\bigg)$

Получили, что частичная сумма $\displaystyle S_n=\frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+5}-\frac{1}{n+6}\bigg)$. Переходя к пределу при $n\to \infty$, найдем сумму.

$S=\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{3}\lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+5}-\frac{1}{n+6}\bigg)=\\ \\ \\ =\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)=\frac{37}{180}$

ответ: 37/180.