Question

)№1) решить линейные однородные ду: а) y"-4y'+3y=0 б) y"-6y'+9y=0 в) 5y"-6y'+5y=0 №2) решить линейное неоднородное ду: y"-3y'+2y=4x^2+2 

Answer 1

$y''-4y'+3y=0\\ \lambda^2-4\lambda+3=0\\ (\lambda-1)(\lambda-3)=0\\ \lambda_1=1 \ \lambda_2=3\\ y=C_1e^x+C_2e^{3x}$

$y''-6y'+9=0\\ \lambda^2-6\lambda+9=0\\ (\lambda-3)^2=0\\ \lambda=3 \\ y=(C_1x+C_2)e^{3x}$

$5y''-6y'+5y=0\\ 5\lambda^2-6\lambda+5=0\\ \frac{D}{4} =9-25=-16=(4i)^2\\ \lambda_{1,2}=3б4i\\ y=e^{3x}(C_1Cos4x+C_2Sin4x)$

$y''-3y'+2y=4x^2+2 \\ y''-3y'+2y=0\\ \lambda^2-3\lambda+2=0\\ (\lambda-1)(\lambda-2)=0\\ \lambda_1=1 \ \lambda_2=2\\ y_0=C_1e^x+C_2e^{2x}\\ y_1=ax^2+bx+c\\ y_1'=2ax+b\\ y_1''=2a\\ 2a-3(2ax+b)+2(ax^2+bx+c)=4x^2+2\\ 2ax^2+(-6a+2b)x+2a-3b+2c=4x^2+2\\ x^2: \ 2a=4\\ x^1: \ -6a+2b=0\\ x^0: \ 2a-3b+2c=2\\ a=2\\ b=6 \\ c=8\\ y_1=2x^2+6x+8\\ y=y_0+y_1=C_1e^x+C_2e^{2x}+2x^2+6x+8$