Question

Решить уравнение: а) xy' - 2y = x^3 + x б) y'' - 12y + 36y = 14e^(6x)

Answer 1

А) x*y' - 2y = x^3 + x
Уравнение неоднородное 1 порядка.
Замена y = u*v, y' = u'*v + u*v'
x*u'*v + x*u*v' - 2u*v = x^3 + x
x*u'*v + u*(x*v' - 2v) = x^3 + x
Скобку приравниваем к 0
x*v' - 2v = 0
x*dv/dx = 2v
dv/v = 2dx/x
ln v = 2ln x = ln(x^2)
v = x^2
Подставляем в уравнение
x*u'*x^2 + u*0 = x^3 + x
u'*x^3 = x^3 + x
u' = 1 + 1/x^2
Решаем интегрированием
u = x - 1/x + C
Обратная замена
y = u*v = (x - 1/x + C)*x^2 = x^3 + Cx^2 - x

б) y'' - 12y' + 36y = 14e^(6x)
Неоднородное уравнение 2 порядка
y = y0 + y* (решение однородного + частное решение неоднородного)
Однородное
y'' - 12y' + 36y = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - 12k + 36 = 0
(k - 6)^2 = 0
k1 = k2 = 6
y0 = (C1 + C2*x)*e^(6x)
Находим частное решение неоднородного уравнения
Степень е равна 6x, 6 - кратный корень характеристического уравнения
y* = Ax^2*e^(6x) (A - это неизвестный коэффициент)
y*' = A(2x*e^(6x) + x^2*6e^(6x)) = A(2x + 6x^2)*e^(6x)
y*'' = A[(2 + 12x)*e^(6x) + (2x + 6x^2)*6e^(6x)] =
= A(2 + 12x + 12x + 36x^2)*e^(6x)
Подставляем в уравнение
A(2+24x+36x^2)*e^(6x) - 12A(2x+6x^2)*e^(6x) + 36Ax^2*e^(6x) = 14e^(6x)
Сокращаем e^(6x)
A(2 + 24x + 36x^2) - 12A(2x + 6x^2) + 36Ax^2 = 14
Раскрываем скобки
2A + 24Ax + 36Ax^2 - 24Ax - 72Ax^2 + 36Ax^2 = 14
2A = 14
A = 7
y* = 7x^2*e^(6x)
Окончательный ответ
y = y0 + y* = (C1 + C2*x)*e^(6x) + 7x^2*e^(6x)

Answer 2

$xy' - 2y = x^3 + x|:x\\y'-\frac{2}{x}y=x^2+1\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u-2uv=x^2+1\\u'v+u(v'-2v)=x^2+1\\\begin{cases}v'-\frac{2}{x}v=0\\u'v=x^2+1\end{cases}\\\frac{dv}{dx}-\frac{2v}{x}=0|*\frac{dx}{v}\\\frac{dv}{v}-\frac{2dx}{x}=0\\\frac{dv}{v}=\frac{2dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=2\int \frac{dx}{x}\\ln|v|=2ln|x|\\v=x^2\\u'x^2=x^2+1\\\frac{du}{dx}=1+\frac{1}{x^2}|*dx\\du=(1+\frac{1}{x^2})dx\\\int du=\int dx+\int x^{-2}dx\\u=x-\frac{1}{x}+C\\y=x^2(x-\frac{1}{x}+C)=x^3-x+Cx^2$

$y''-12y'+36y=14e^{6x}\\\lambda^2-12\lambda+36=0\\(\lambda-6)^2=0\\\lambda_{1,2}=6\\Y=C_1e^{6x}+C_2xe^{6x}\\\hat{y}=Ax^2e^{6x}\\\hat{y}'=A(2xe^{6x}+6x^2e^{6x})=2Axe^{6x}+6Ax^2e^{6x}\\\hat{y}''=2A(e^{6x}+6xe^{x})+6A(2xe^{6x}+6x^2e^{6x})=36Ax^2e^{6x}+24Axe^{6x}+\\+2Ae^{6x}\\\\36Ax^2e^{6x}+24Axe^{6x}+2Ae^{6x}-24Axe^{6x}-72Ax^2e^{6x}+36Ax^2e^{6x}=\\=14e^{6x}\\2Ae^{6x}=14e^{6x}\\2A=14\\A=7\\\hat{y}=7x^2e^{6x}\\y=Y+\hat{y}=C_1e^{6x}+C_2xe^{6x}+7x^2e^{6x}$