Question

У=-√х у= х^3 найти площадь с двойного интеграла. если не правильно сформулировал вопрос заранее извиняюсь

Answer 1

$y=-\sqrt{x}\; ,\; \; y=x^3\; ,\; \; 0\leq x\leq 2$

 $y=-\sqrt{x}$  -  нижняя ветвь параболы $x=y^2$ , которая имеет вершину в точке (0,0) , ветви направлены вправо, проходит через точку (1,-1).
 $y=x^3$  - кубическая парабола, проходит через точки (0,0) , (1,1) , (-1,-1).
 $0\leq x\leq 2$  - провести прямую х=2, прямая х=0 не нужна, т.к. графики кубической параболы и нижней ветви кв. параболы в точке (0,0) пересекаются.

$S=\iint\limits_ {D} \, dx \, dy= \int\limits^2_0 \, dx \int\limits^{x^3}_{-\sqrt{x}} \, dy= \int\limits^2_0 \Big (y\Big |_{-\sqrt{x}} ^{x^3}\Big )\, dx = \int\limits^2_0 \, \Big (x^3+\sqrt{x}\Big ) \, dx =\\\\=\Big (\frac{x^4}{4}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\Big )\Big |_0^2= \frac{16}{4} + \frac{2\cdot 2\sqrt2}{3} = \frac{4(3+\sqrt2)}{3}$