Куб натурального числа n можно представить в виде n слагаемых, образующих арифметическую прогрессию с разностью 2.
Доказательство:
Если n — число нечётное:
Пусть средний член равен n². Тогда сумма членов этой прогрессии равна n² + n² - 2 + n² + 2 + ... = n² + n² + n² + ... (n раз) = n² * n = n³.
Если n — число чётное:
Пусть средние члены (по счёту n/2 и n/2 + 1) равны n²-1 и n²+1. Сумма членов прогрессии равна: n² - 1 + n² + 1 + n² - 3 + n² + 3 + ... = n² + n² + n² + ... (n раз) = n² * n = n³.
Во всех возможных случаях мы смогли представить куб натурального числа в виде n слагаемых, что и требовалось доказать.
Число Вариантов выбрать эти 8 цифр из 10 имеющихся
С(10;8)=45
Из этих 8 уникальных цифр можно выбрать A(8;3)=336 троек . Первая цифра этой тройки будет повторятся 4 раза, вторая 2, третья тоже 2, остальные по одному разу
Каждая такая комбинация дает P(13) вариантов чисел.
Но из-за повторения это число нужно поделить на P(4), чтобы исключить повторение первой цифры, на P(2) - чтобы исключить повторение второй цифры , на P(2) - чтобы исключить повторение третьей цифры.
Итого : C(10;8) *A(8;3)*P(13) / P(4) / P(2) / P(2) = 980755776000 чисел.
Но это не все - наш подсчет включает числа с ведущими нулями.
Но тут проще - чисел начинающихся с 0 в нашем подсчете 1/10 от общего числа - все цифры равновероятны.
Окончательный результат - C(10;8) *A(8;3)*P(13) / P(4) / P(2) / P(2) * 9/10 = 882680198400