Пошаговое объяснение:
нтервалы выпуклости и вогнутости графика функции
С онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word. Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с матрицы Гессе.
Математика онлайн
Математический анализ
Решение онлайн
Видеоинструкция
y =
x^2-8*x+1
?
Решить Действия
Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Определение: Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)
Найти вторую производную f’’(x).
Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
Вычислить значения функции в точках перегиба.
ПРИМЕР 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x2–x3.
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x2, f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0. x=2.
f(2) = 6*22 – 23 = 16
ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞); функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2); точка перегиба (2;16).
ПРИМЕР 2. Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x3-6x2+2x-1
ПРИМЕР 3. Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x3-6x2+12x+4
Рассмотрим несколько простейших задач по уже пройденным темам. Для этого нам потребуется минимальная математическая подготовка. В частности, уметь складывать, вычитать, умножать и делить, находить доли от чисел, уметь строить соотношения и выполнять элементарные тождественные преобразования.
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим несколько простейших задач по уже пройденным темам. Для этого нам потребуется минимальная математическая подготовка. В частности, уметь складывать, вычитать, умножать и делить, находить доли от чисел, уметь строить соотношения и выполнять элементарные тождественные преобразования.
Задачи, приведенные в данном уроке, достаточно легкие для восприятия и понимания. Потребуется только небольшая сноровка, чтобы понять каким из изученных инструментов воспользоваться для решения поставленной задачи. Изучить что-либо это одно дело, а вот применить на практике — другое.
Пошаговое объяснение:
14, 21, 31, 42, 51, 63, 68, 75
разложим числа на простые множители :
14= 2*7
21=3*7
31= 1*31
42=2*3*7
51= 17*3
63= 7*3*3
68= 2*2*17
75= 5*5*3
а) кратны 7
14,21,42,63,
2) кратны 17
51; 68
3) не кратны 8
14,21,31,42,51,63,68,75
4) не кратны 2
21,31,51,63,75