Эта задача очень известная, и решается, как ни странно, перебором :))
Дело в том, что все квадраты целых чисел заканчиваются на 0,5,1,4,6,9. Это легко показать для первых 10 чисел (то есть цифр:)), а все последующие лекго представимы как 10*р+m, то есть последняя цифра квадрата равна последней цифре m^2. Отсюда следует, что если квадрат натурального числа разделить нацело на 5, то остаток может принимать значения только 0, 1 и 4. В самом деле, если число заканчивается на 0 и 5, то остаток 0, если на 1 или 6 - то 1, если на 4 или 9 - то 4.
Отсюда получается, что при n > 5 условие задачи не может быть удовлетворено, поскольку n! делится на 5, и остаток от деления левой части на 5 будет 3.
Осталось перебрать все случаи от 1 до 4. Ну и находим единственное решение
n = 2, k = 5.
С ответом согласен. Попробую попроще объяснить.
Возьмем n! последняя цифра этого числа 0 для всех n>=5
Возьмем 5n последняя цифра этого числа 0 или 5 , если n четное или n нечетное
Соответственно.
Тогда последняя цифра левой части или 3 или 8
Но в правой части k^2 - a все квадраты целых чисел заканчиваются на 0,5,1,4,6,9
Равенство не получается. Значит n<5.
По условию n – натуральное число. Варианты. 1,2,3,4
Подставим в исходное уравнение и найдем пару (n,k)
При n=2 k=5
Остальные значения n не подходят, так как сумма в левой части,
не является квадратом целого числа.
ответ n=2 k=5
