Иллюстрации к заданию - во вложении.
1. Ваня решил пройти на лыжах по лыжной трассе за день до соревнований, чтобы узнать ее мршрут.
Первые 2 километра он шел со скоростью 5 км/ч, потом, в году, шел 30 мин со скоростью 3 км/ч и, понявшись на гору, присел однохнуть на 10 мин, затеми продолжив идти с начальной скоростью до конца трассы за 30 мин.
a)Какова длина трассы?
б)За какое время Ваня ее
в) Сколько времени (в минутах) потребуется Ване, чтобы проийти трассу со скоростью 5 км в час?
Дано: S₁(2 км) - v₁(5 км/ч)
v₂(3 км/ч) - t₂(30 мин) - 30 мин=0.5 ч
v₃(5 км/ч) - t₃(30 мин)
t₄(15мин) - отдых 15 мин=0.25 ч
1. t₁=S₁/v₁=2/5=0.4 ч
2. S₂=v₂*t₂=3*0.5=1.5 км
3.S₃=v₃*t₃=5*0.5=2.5 км
а) S=S₁+S₂+S₃=2+1.5+2.5=6 км
б) t=t₁t₂+t₃+t₄=0.4+0.5+0.5+0.25=1.65 ч =>
0.65 ч=1.65*60=99 мин=1 ч 39 мин
в) S=6 км; v=5 км,ч; t=?
t=6/5=1.2 ч=72 мин
ответ: а) Длина трассы=6 км
б) Ваня трассу за 99 мин, 99мин=1 ч 39 мин
в) Если Ваня пойдет с постоянной скоростью 5 км/ч, то он проидет трассу за 72 мин
2. Чтобы добраться из поселка до турбазы, турист 1 часть пути проехал за 1 час на велосипеде, в гору со скоростью 200 м/мин, под гору, со скоростью 250 м/мин, 2 часть пути, через лес, ему пришлось еще час скакать верхом на лошади, а потом, пройти пешком по проселочной дороге, до турбазы еще пол часа.
а) Каково прасстояние от поселка до турбазы, и
б) сколько времени понадобилось на дорогу, если турист скакал на лошади со скоростью 12-15 км/ч, а шел пешком со скоростью от 3 до 5 км/ч, и ждал 45 мин, чтобы ему запрягли лошадь?
Дано: v₁=200-250 м/мин - t₁= 1 ч
v₂=12-15 км/ч - t₂= 1 ч
v₃=3-5 км/ч - t₃=30 мин=0.5 ч
t₄=45 мин=0.75 ч - Время, которое запрягали лошадь
Чтобы найти расстояние от поселка до турбазы, прежде всего нужно найти среднюю скорость туриста на каждом из 3-х этапов пути:
v₁=(200+250)/2=225 м/мин=225*60=13500 м/ч=13.5 км,ч
v₂=(12+15)/2=13.5 км/ч
v₃=(3+5)/2=4 км/ч
а)1 часть пути: S₁=13.5*1=13.5 км
2 часть пути: S₂=13/5*1=13.5 км
3 часть пути: S₃=4*0.5=2 км
S=S₁+S₂+S₃=13.5+13.5+2=29 км
б) t₁=1ч; t₂=1 ч; t₃=0.5 ч; t₄=0.75 ч
t=t₁+t₂+t₃+t₄=1+1+0.5+0.75=3.25 ч=3 25/60 ч=3 5/12 ч≈ 3ч 42 мин
ответ: а) расстояние от поселка до турбазы 29 км,
б) время, затраченное на весь путь 3.25 ч, или ≈3 ч 42 мин.
3.На загородном шоссе зафиксирована скорость движения различных видов транспорта в разное время суток.
Таблица:
Вид транспортного 10⁰⁰-12⁰⁰ 22⁰-24⁰⁰
средства
Легковой атомобиль 80 км/ч 60 км/ч
Грузовой автомобиль 80 км/ч 120 км/ч
Мотоцикл 70 км/ч 70 км/ч
Велосипед 250 м/мин 200 м/мин
Найти: а) Среднюю скорость транспорта в утренние часы,
б) Среднюю скорость транспорта в вечерние часы
в) На сколько уменьшается/увеличивается средняя
скорость транспорта в вечерние часы?
Вначале нужно вычислить скорость велосипеда в км/ч:
250-200 м/мин=
250*60 - 200*60 м/ч=
(250*60/1000 - 200*60/1000 км/ч=
15-12 км/ч
а) Средняя скорость транспорта в утренние часы:
(80+80+70+15)/4=61.25 км/ч
б) Средняя скорость транспорта в вечерние часы:
(60+120+70+12)/4=262/4=65.5 км/ч
в) 65.5-61.25=4.25 км/ч
ответ: а) Средняя скорость утром 61.25 км/ч.
б) Средняя скорость вечером 65.5 км/ч
в) в вечерние часы средняя скорость транспорта увеличивается на 4.25 км/ч
Задачи 4, 5 и 6 во вложении на
Доказательство. Во-первых, больше 10 красных точек быть не может. В самом деле, на каждом отрезке есть две точки, делящие его в отношении 3:4. Все они в принципе могут быть красными - получается 20 точек, но каждая из них учитывается как минимум дважды - ведь она делит как минимум два отрезка в отношении 3:4
Осталось предъявить конкретное расположение отрезков. Проще было бы нарисовать картинку, но мы не боимся сложностей. Поэтому опишу это расположение. Пусть отрезки имеют длину 7 - чтобы было легче их делить в нужном отношении, - с отмеченным отрезком длины 1 ровно посередине. Возьмем сначала четыре отрезка и расположим их так, чтобы их средние отмеченные части образовывали квадрат со стороной 1. Наружу от этого квадрата будут торчать отрезки длиной 3. Затем берем три отрезка и располагаем их так, чтобы их средние отмеченные отрезки образовывали правильный треугольник со стороной 1. Естественно, там тоже будут торчать наружу отрезки длиной 3. Оставшиеся три отрезка располагаем аналогично только что расположенным.