Question

Интеграл от -п/6 до п/3 ( cos x - 2sin x ) dx ,

Answer 1

Интеграл разности - разность интегралов

$\int{(cos(x)-2sin(x))} dx = \int{cos(x)} dx - \int{2 sin(x)} dx$

умножение на константу под интегралом - выносим за знак интеграла

$\int{cos(x)} dx - \int{2 sin(x)} dx = \int{cos(x)} dx - 2 \int{sin(x)} dx$

Теперь под интегралами простые известные выражения:

$\int{cos(x)} dx - 2 \int{sin(x)} dx = sin(x) + 2 cos(x) + C$

Подставляем пределы интегрирования и берём разность:

$sin( \cfrac{\pi}{3} ) + 2 cos(\cfrac{\pi}{3}) - sin(-\cfrac{\pi}{6}) - 2 cos(-\cfrac{\pi}{6})$

знаки отрицательных аргументов выносим:

$sin( \cfrac{\pi}{3} ) + 2 cos(\cfrac{\pi}{3}) + sin(\cfrac{\pi}{6}) - 2 cos(\cfrac{\pi}{6})$

$(\sqrt{3}/2)+2 \cdot (1/2) + (1/2) - 2 \cdot (\sqrt{3}/2) = 3/2 - \sqrt{3}/2 = (3 - \sqrt{3})/2$