Question

Нужно подробное решение найти координаты точки, симметричной точке а(1 ; 0 ; 1) относительно прямой х/1=(у+1)/2=(z+2)/-1

Answer 1

Точка А1, симметричная точке А относительно прямой  $l$ , лежит на перпендикуляре, проведённым из точки А к этой прямой.
Причём точка пересечения перпендикуляра и заданной прямой является серединой отрезка АА1. 
Перпендикуляр из точки А к прямой  $l$  можно провести в плоскости, перпендикулярной прямой  $l$  .
Составим уравнение перпендикулярной плоскости, учитывая, что направляющий вектор прямой  $l$  будет нормальным вектором плоскости  и точка А лежит в этой плоскости.

$l:\; \; \frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{-1}\quad \to \quad \vec{s}=(1,2,-1) =\vec{n}\\\\A(1,0,1)\in \pi \\\\\pi :\; \; 1\cdot (x-1)+2\cdot (y-0)-1\cdot (z-1)=0\\\\\pi :\; \; x+2y-z=0$

Найдём точку пересечения прямой $l$  и плоскости  $\pi$ . 
Запишем предварительно уравнение прямой в параметрическом виде:

$l:\; \; \left\{\begin{array}{c}x=t\\y=2t-1\\z=-t-2\end{array}\right \\\\x+2y-z=t+2(2t-1)-(-t-2)=0\\\\t+4t-2+t+2=0\; ,\; \; 6t=0\; ,\; \; t=0\\\\x_0=0\; ,\; \; y_0=2\cdot 0-1=-1\; ,\; \; z_0=-0-2=-2\\\\A_0(0,-1,-2)$

Точка  $A_0$  является серединой отрезка  $AA_1$  .
Найдём координаты  $A_1$  .

$x_{A_0}=\frac{x_{A_1}+x_{A}}{2}\; ,\; y_{A_0}=\frac{y_{A_1}+y_{A}}{2}\; ,\; z_{A_0}=\frac{z_{A_1}-z_{A}}{2}\\\\x_{A_1}=2x_{A_0}-x_{A}=2\cdot 0-1=1\\\\y_{A_1}=2y_{A_0}-y_{A}=2(-1)-0=-2\\\\z_{A_1}=2z_{A_0}-z_{A}=2(-2)-1=-5\\\\\underline {A_1(1,-2,-5)}$