Question

Найти производную n-го порядка. y=x^(1/2)

Answer 1

Итак воспользуемся формулой $(x^n)'=n*x^{n-1}$ несколько раз.
1) $y'=(x^ \frac{1}{2})'= \frac{1}{2} * x^{ \frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} * x^{- \frac{1}{2}$
2) $y''=(y')'=(\frac{1}{2} * x^{- \frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} * (x^{- \frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} * (- \frac{1}{2}) x^{- \frac{1}{2}-1} = - \frac{1}{4} * x^{- \frac{3}{2}}$
3) $y'''=(y'')'=(- \frac{1}{4} * x^{- \frac{3}{2}} )' = -\frac{1}{4} * (x^{- \frac{3}{2}})' = -\frac{1}{4} * (- \frac{3}{2}) x^{- \frac{3}{2}-1} = \frac{3}{8} * x^{- \frac{5}{2}}$
4) $y''''=(y''')'=\frac{3}{8} * (x^{- \frac{5}{2}} )' = \frac{3}{8} * (- \frac{5}{2}) x^{- \frac{5}{2}-1} = -\frac{15}{16} x^{- \frac{7}{2}}$
Теперь уже у нас более чем достаточно данных для создания формулы производной n-ного порядка:
1) в общем виде формула одна и таже (знак)(дробное число)*(х в какой-то степени), то есть что-то похожее на $\begin{array}{c}+&-\end{array} \frac{a}{b} *x^c$
2) чередование знака у нас идет так, что на каждой производной нечетного порядка знак +, а на нечетного знак -. Это можно регулировать так $(-1)^{n+1}$
3) степень при х, с каждым порядком уменьшается от изначальной на 1. То есть описывается так: $c= \frac{1}{2} - n$
4) знаменатель коефициента каждый порядок увеличивается на 2. Это можно описать например $b=2^n$
5) с числителем вот сложновато получается. Тут красивого ответа не выйдет, но можно увидеть это как произведения $a=1*3*5*7*...*(2n-3)$
6) А теперь все в кучу $y^{(n)}=(x^ \frac{1}{2})^{(n)}=(-1)^n * \frac{1*3*5*...*(2n-3)}{2^n} * x^{\frac{1}{2}-n}$