Question

Вуравнении (а²-5а+3)х² +(3а-1)х+2=0 определить а, если известно, что отношение корней равно 2.

Answer 1

Пусть корни равны t и 2t, тогда сумма корней 3t, произведение 2t^2.

По теореме Виета сумма корней равна -(3a - 1) / (a^2 - 5a + 3), произведение 2 / (a^2 - 5a + 3).

-(3a - 1) / (a^2 - 5a + 3) = 3t
2 / (a^2 - 5a + 3) = 2t^2

Выражаем из первого уравнения t и подставляем во второе.
3t = (1 - 3a) / (a^2 - 5a + 3)
9t^2 = 9 / (a^2 - 5a + 3)

(1 - 3a)^2 = 9(a^2 - 5a + 3)
9a^2 - 6a + 1 = 9a^2 - 45a + 27
39a = 26
3a = 2
a = 2/3

Проверяем, подставив a = 2/3:
x^2/9 + x + 2 = 0
x^2 + 9x + 18 = 0
Корни -3 и -6 откличаются в 2 раза.

ответ. a = 2/3