Question

Найти значения а, при каждом из которых уравнение ax^2+2(a+3)x+(a+4)=0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 2

Answer 1

Два корня будет, если дискриминант будет больше нуля:

$ax^2+2(a+3)x+(a+4)=0 \\ \\ D = (a+3)^2 - a(a+4) = a^2+6a+9 -a^2-4a = 2a +9\ \textgreater \ 0 \\ \\ a\ \textgreater \ -4,5$

Также один корень будет, если а = 0 и квадратное уравнение превратится в линейное.

Расстояния между корнями больше 2. Напишем сначала, чему равны корни:
$x_1 = -(a+3) + \sqrt{2a+9} \\ \\ x_2 = -(a+3) - \sqrt{2a+9}$

Найдём модуль разницы между корнями - это и будет искомое расстояние:
$|x_1 - x_2| = |\frac{-(a+3) + \sqrt{2a+9} }{a} + \frac{(a+3) + \sqrt{2a+9} }{a}| = | \frac{2\sqrt{2a+9} }{a}| \textgreater \ 2 \\ \\ |\frac{\sqrt{2a+9}}{a} | \textgreater \ 1 \\ \\ \frac{\sqrt{2a+9}}{|a|} \textgreater \ 1 \\ \\ a\ \textgreater \ 0; \sqrt{2a+9} \ \textgreater \ a; 0 \ \textless \ x \ \textless \ 1+ \sqrt{10} \\ \\ a\ \textless \ 0; \sqrt{2a+9} \ \textless \ a; 1- \sqrt{10} \ \textless \ x \ \textless \ 0$

ответ: a ∈ (1- \sqrt{10}; 0) ∪ (0; 1+ \sqrt{10})

Answer 2

Ax^2 + 2(a+3)x + (a+4) = 0
Во-первых, при а = 0 квадратное уравнение вырождается в линейное
6x + 4 = 0; x = -2/3 - один корень, что нам не подходит.
Во-вторых, при а не = 0 имеем
D/4 = (a + 3)^2 - a(a + 4) = a^2 + 6a + 9 - a^2 - 4a = 2a + 9
При a < -9/2 будет D < 0, корней нет. Не подходит.
При a = -9/2 будет D = 0, тогда будет 1 корень (точнее, 2 равных корня).
x = -(a+3)/a = -(-9/2 + 3) / (-9/2) = (-3/2)*2/9 = -1/3. Не подходит.
При a > -9/2 будет 2 разных корня
$x1= \frac{-(a+3)- \sqrt{2a+9} }{a}$
$x2 = \frac{-(a+3)+ \sqrt{2a+9} }{a}$
Нам нужно, чтобы расстояние между корнями было больше 2
|x1 - x2| > 2
Возможно 2 случая

1) x1 > x2, тогда |x1 - x2| = x1 - x2
x1 - x2 > 2
$\frac{-(a+3)- \sqrt{2a+9} }{a} -\frac{-(a+3)+ \sqrt{2a+9} }{a} \ \textgreater \ 2$
$\frac{-(a+3)+(a+3)- \sqrt{2a+9}-\sqrt{2a+9} }{a}-2\ \textgreater \ 0$
$\frac{- 2\sqrt{2a+9}-2a }{a}\ \textgreater \ 0$
Делим все на (-2)
$\frac{\sqrt{2a+9}+a }{a}\ \textless \ 0$
Корень арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому, если a > 0, то и числитель и знаменатель > 0, решений нет.
Если a ∈ (-9/2; 0) по области определения, то
√(2a + 9) + a > 0
√(2a + 9) > -a
2a + 9 > a^2
a^2 - 2a - 9 < 0 (при этом мы помним, что a < 0)
D = 4 + 4*9 = 40
a1 = (2 - √40)/2 = (2 - 2√10)/2 = 1 - √10 ∈ (-9/2; 0) - подходит
a2 = (2 + √40).2 = 1 + √10 > 0
Решение неравенства a ∈ (1 - √10; 1 + √10)
С учетом, что a ∈ (-9/2; 0)
Решение: a ∈ (1 - √10; 0)

2) x2 > x1, тогда |x1 - x2| = x2 - x1
$\frac{-(a+3)+ \sqrt{2a+9} }{a} -\frac{-(a+3)- \sqrt{2a+9} }{a} \ \textgreater \ 2$
$\frac{-(a+3)+(a+3)+ \sqrt{2a+9}+\sqrt{2a+9} }{a}-2\ \textgreater \ 0$
$\frac{ 2\sqrt{2a+9}-2a }{a}\ \textgreater \ 0$
Делим все на 2
$\frac{\sqrt{2a+9}-a }{a}\ \textgreater \ 0$
Если a ∈ (-9/2; 0) по области определения, то
√(2a + 9) - a < 0
√(2a + 9) < a
Так как корень арифметический, то √(2a + 9) > 0, а по условию a < 0
Поэтому это неравенство решений не имеет.

Если a > 0, то
√(2a + 9) - a > 0
√(2a + 9) > a
2a + 9 > a^2
a^2 - 2a - 9 < 0 (при этом мы помним, что a > 0)
a1 = 1 - √10 < 0 - не подходит
a2 = 1 + √10 > 0 - подходит
Решение неравенства: (1 - √10; 1 + √10)
С учетом, что a > 0
Решение: a ∈ (0; 1 + √10)

ответ: a ∈ (1 - √10; 0) U (0; 1 + √10)