Question

Диагонали прямоугольного параллелепипеда образуют с основанием углы в 30 ° и 45° ; стороны стороны основания 6 см и 8 см найти площадь боковой поверхности

Answer 1

Более изящного решения я не нашел, хотя потратил на задачу 4 минуты. Итак, в основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8. Диагонали этого параллелограмма различны. В задаче задано, что диагонали ПРЯМОГО параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы 45 и 30 градусов. Эти углы - на самом деле углы между диагоналями и их проекциями на основание, которыми (проекциями) являются диагонали параллелограмма в основании. То есть получается, что меньшая диагональ основания равна  высоте параллелограмма, а большая в корень(3) раз больше (это котангенс 30 градусов, малая диагональ = высота = боковое ребро = большая диагональ основания*тангенс(30 градусов)). Чтобы все это получить, надо рассмотреть два прямоугольных треугольника, которые образуют диагонали параллелепипеда, диагонали основания и боковые ребра (они же высоты параллелепипеда). Один из этих треугольников равнобедренный из за угла 45 градусов, а в другом острый угол между большей диагональю параллелепипеда и большей диагональю параллелограмма в основании равен 30 градусам. Осталось расмотреть основание поподробнее. Это параллелограмм со сторонами 6 и 8, пусть острый угол равен Ф, меньшая диагональ D. Тогда по теореме косинусов 6^2 + 8^2 -2*6*8*cos(Ф) = D^2; 6^2 + 8^2 +2*6*8*cos(Ф) = (корень(3)*D)^2 = 3*D^2; Отсюда 4*D^2 = 200; D = 5*корень(2); Это не только диагональ, но и высота параллелограмма. Поэтому боковая поверхность имеет площадь 2*(6+8)*5*корень(2) = 140*корень(2); Из первого уравнения cos(Ф) = 25/48;  Обалдеть, чего Богомолов накрутил... Осюда sin(Ф) = корень(1 - (25/48)^2) = корень(1679)/48; (да кто же эти числа придумал? 1679 = 23*73, 23 и 73 - простые числа)  Площадь основания 6*8*sin(Ф) = корень(1679);  Полная поверхность имеет плошадь 2*корень(1679) + 140*корень(2).  Ну я не знаю... если у меня затмение, поправьте :