Question

Вправильной треугольной призме abca1b1c1 боковое ребро равно 3, а сторона основания - 5. найдите косинус угла между плоскостями abc1 и a1b1c. можно расписывая, )

Answer 1

Пусть А - начало координат .
Ось X - AB
Ось Y - перпендикулярно X в сторону C 
Ось Z - AA1

координаты точек 
B(5;0;0)
C(2.5;2.5√3;0)
A1(0;0;3)
B1(5;0;3)
C1(2.5;2.5√3;3)

уравнение плоскости ABC1 - проходит через начало координат
ax+by+cz=0 
Подставляем координаты точек
5a=0    a=0
2.5a+2.5√3b+3c=0 
Пусть с= -1 тогда b=0.4√3
0.4√3y-z=0

уравнение плоскости A1B1C
ax+by+cz+d=0  
Подставляем координаты точек
3c+d=0
5a+3c+d=0
2.5a+2.5√3b+d=0

a=0 Пусть d= -3 тогда с=1 b= 0.4√3
0.4√3y+z-3=0

Косинус искомого угла равен 
| ((0.4√3)^2-1) | / ((0.4√3)^2+1)=13/37

Answer 2

Проведём секущую плоскость через ребро АА1 перпендикулярно АВ и А1В1. В этом сечении и получим плоский угол между заданными плоскостями. Он образован перпендикулярами из точек С1 на АВ и из С на А1В1. Проекции этих перпендикуляров на основание совпадают друг с другом и равны 5*cos30° = 5√3/2.
Искомый α угол равен:
α = 2arc tg(3/(5√3/2)) =  1,211782 радиан или 69,43001°.
Косинус этого угла равен  0,351351.

Можно прямо определить косинус  через треугольник с двумя сторонами по половине высоты С1Д (Д - середина АВ) и третьей - боковое ребро.
ответ:  0,351351136.