Question

Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения y'-xy=2x^3

Answer 1

ИСПОЛЬЗОВАН МЕТОД ЛАГРАНЖА.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'-xy=0$ - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{dy}{dx} =xy~~~\Rightarrow~~ \frac{dy}{y} =xdx~~~\Rightarrow~~~ \ln|y|= \frac{x^2}{2}+C$

$y=Ce^{\frac{x^2}{2} }$ - общее решение однородного уравнения

Примем $C=C(x)$, тогда $y=C(x)e^{\frac{x^2}{2} }$. По правилу дифференцирования произведения: $y'=C'(x)e^{\frac{x^2}{2} }+xC(x)e^{\frac{x^2}{2} }$

Подставим данные в исходное уравнение:
 $C'(x)e^{\frac{x^2}{2} }+xC(x)e^{\frac{x^2}{2} }-xC(x)e^{\frac{x^2}{2} }=2x^3\\ C'(x)e^{\frac{x^2}{2} }=2x^3$
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$C(x)=\displaystyle \int 2x^3e^{-\frac{x^2}{2} }dx= \bigg\{u=x^2;~~ 2xdx=du\bigg\}= \frac{1}{2} \int ue^{- \frac{u}{2} }du=\\ \\ \\ = \frac{1}{2} \bigg(-2ue^{- \frac{u}{2} }+2\int e^{- \frac{u}{2} }du\bigg)=-2x^2e^{- \frac{x^2}{2} }-4e^{- \frac{x^2}{2} }+C_1$

Общее решение:    $y=\bigg(-2x^2e^{- \frac{x^2}{2} }-4e^{- \frac{x^2}{2} }+C_1\bigg)e^{ \frac{x^2}{2} }=C_1e^{ \frac{x^2}{2} }-2x^2-4$