Question

На какую наибольшую степень двойки делится число

Answer 1

Для начала воспользуемся тем, что 10 = 2 * 5:
$10^{10}-2^{10}=(2\cdot5)^{10}-2^{10}=2^{10}\cdot5^{10}-2^{10}=2^{10}(5^{10}-1)$

Рассмотрим множитель в скобках. Разложим это выражение по формуле разности квадратов:
$5^{10}-1=(5^5)^2-1=(5^5-1)(5^5+1)$

Получились уже совсем небольшие сомножители, их можно легко посчитать. Делать мы этого, разумеется, не будем, вместо этого посчитаем остаток от деления числа $5^5$ на 8.

$5^2=25$ дает остаток 1 при делении на 8, тогда $5^4=(5^2)^2$ тоже дает остаток 1 при делении на 8, а $5^5$ дает остаток 5 при делении на 8, откуда $5^5=8n+5$ при некотором натуральном n.

Значит, $5^n-1=8n+4=4(2n+1)$ делится на 4 и не делится на 8, а $5^n+1=8n+6=2(4n+3)$ делится на 2, но не на 4. Получается, что максимальная степень двойки, на которую делится произведение $10^{10}-2^{10}=2^{10}(5^{10}-1)(5^{10}+1)$, есть $2^{10}\cdot4\cdot2=2^{13}$