Истоки празднования сабантуя уходят в глубокую древность и связаны с аграрным культом. Первоначальная цель этого обряда, вероятно, заключалась в задабривании духов плодородия с тем, чтобы благоприятствовать хорошему урожаю в новом году[13].
По некоторым исследованиям этот древний праздник имеет тысячелетнюю историю. Так ещё в 921 году христианской эры его описал в своих трудах знаменитый исследователь Ибн Фадлан, прибывший в Булгар в качестве посла из Багдада[источник не указан 636 дней]. В 1979 году Ф. С. Хакимзяновым в Алькеевском районе Татарстана была обнаружена единственная эпитафия булгарского периода, предположительно 1292 года, содержащая надпись «Saban tuj kon ati» — «День Сабантуя»[14].
У башкир впервые письменно зафиксирован в XVIII веке в путевых записях русского лексикографа, натуралиста и путешественника Ивана Ивановича Лепёхина и немецкого этнографа, учёного Георги Иоганна Готлиба[15]. И. Г. Георги писал: «Башкирцы. Пахатной ихъ праздник (Сабантуй) во всем, кромъ молитвъ, творимыхъ Муллою, сходетствуетъ съ Анга Соареномъ Черемисским. Хотя земледълiе у нихъ и не въ чести; однакожъ въ праздникъ сей съезжается верхомъ всякая деревня, не исключая ни женъ, ни детей, на свои пашни, слушаетъ приносимое Муллою моленiе о плодородiе земли и изобилiе въ травъ, и забавляется потом попойкою, пляскою, пъснями, рыстанiем въ запуски и тому подобными»[16
Либо хотя бы одно число делится на 3, либо найдутся три такие числа, что их остатки равны. Действительно, ведь все числа можно представить как 3n, 3n - 1 и 3n - 2 (n - натуральное). Остатки их могут быть равны 0, 1 и 2. Ещё, их у нас 5, что не позволит нам их представить иначе. В первом случае (когда хотя бы одно число делится на 3), мы можем сложить числа с остатками 0, 1 и 2. Тогда, (a + b + c) mod 3 = (a mod 3 + b mod 3 + c mod 3) mod 3 = 0. Во втором случае, если найдутся три числа с равными остатками, то аналогично (a mod 3 + b mod 3 + c mod 3) mod 3 = 0.