Question

Два автомобиля равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. один из них движется со скоростью 65 км/ч и находится на расстоянии 16 км от перекрестка, второй движется со скоростью 45 км/ч и находится на расстоянии 12 км от перекрестка. через сколько минут расстояние между автомобилями станет наименьшим? каково будет это наименьшее расстояние

Answer 1

В начальный момент времени расстояние между машинами по теореме Пифагора

S0 = √(16^2 + 12^2) = √(256 + 144) = √400 = 20 км.

Расстояние от 1 машины до перекрестка меняется по закону:

s1 = 16 - 65*t км, где t - время в часах.

Расстояние от 2 машины до перекрестка меняется по закону:

s2 = 12 - 45*t км.

Расстояние между машинами по той же теореме Пифагора

$S=\sqrt{s1^2+s2^2}=\sqrt{(16-65*t)^2+(12-45*t)^2} =$

$=\sqrt{256-2080*t+4225*t^2+144-1080*t+2025*t^2} =$

$=\sqrt{6250*t^2-3160*t+400}$

Вычислим минимум этой функции, который будет в вершине параболы

t0 = -b/(2a) = 3160/(2*6250) = 158/625 часов = 158*60/625 = 15,168 минут.

В этот момент машины проехали

s1 = 16 - 65*t0 = (16*625 - 65*158)/625 = -270/625 = -54/125

s2 = 12 - 45*t0 = (12*625 - 45*158)/625 = 390/625 = 78/125

То, что s1 < 0 говорит о том, что 1 машина уже проехала перекресток.

Расстояние между машинами в этот момент

$S(t0) = \sqrt{s1^2+s2^2}=\sqrt{(-\frac{54}{125})^2+(\frac{78}{125})^2}=\frac{\sqrt{(-54)^2+78^2}}{125} =$

$=\frac{\sqrt{9000}}{125}=\frac{30\sqrt{10}}{125}=\frac{6\sqrt{10}}{25} =0,7589 km$

Answer 2

16÷65=16/65 ч первый а/м достигнет перекрестка.

(16/65)*45=11 1/13 км проедет второй а/м, когда первый достигнет перекрёстка.

12-11 1/3=12/13 км будет расстояние между первым а/м и вторым а/м.

Дальше смотрите рисунок к задаче, на рисунке перекрёсток. По началу я думал, что самая короткая гипотенуза между автомобилями будет тогда, когда расстояния от перекрёстка до первого и второго автомобиля будут равны. Оно бы так и было, если бы скорости у первого и второго автомобиля были бы равные.

В данном случае расстояние между автомобилями будет меняться по гипотенузе прямоугольного треугольника, когда первый автомобиль удаляется от перекрестка, а второй приближаться к перекрёстку (находясь от него на расстоянии 12/13 км.) Если записать функцию как квадрат гипотенузы, то:

f(t)=(0-65t)²+(12/13-45t)²=4225t²+(144/169)-(1080t/13)+2025t²=

=6250t²-(1080t/13)+(144/169)

Найдем наименьшее значение функции:

(1080/13)/(2*6250)=54/8125 часа после движения первого автомобиля от перекрёстка расстояние между автомобилями будет наименьшим.

16/65+54/8125=0,2528 часа=15,168 минут после начала движения, расстояние между автомобилями будет наименьшим.

(54/8125)*65=54/125 км проехал первый автомобиль от перекрёстка за 54/8125 часа.

(12/13)-(54/8125)*45=(12/13)-(486/1625)=78/125 км расстояние до перекрестка второго автомобиля, когда первый автомобиль отъехал от перекрестка на 54/125 км.

Найдём наименьшее расстояние между автомобилями по теореме Пифагора.

S=√(54/125)²+(78/125)²≈0,758946638≈0,76 км. наименьшее расстояние между автомобилями.

ответ: через 15,168 минут после начала движения, расстояние между автомобилями будет наименьшим: ≈ 0,76 км.