Question

Сколько членов арифметической прогрессии нужно вписать между числами 1 и 31, чтобы сумма этих членов была вчетверо больше суммы двух наибольших из них?

Answer 1

Дано: $\tt a_1=1; \ \ a_n=31$

1. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $\tt a_n=a_1+d(n-1)$, отсюда разность прогрессии:

$\displaystyle \tt 1+d(n-1)=31 \\ d(n-1)=31-1\\d(n-1)=30\\d=\frac{30}{n-1}$

2. Сумма двух наибольших неизвестных членов:

$\displaystyle \tt a_{n-1}+a_{n-2}=a_n-d+a_n-2d=2a_n-3d=2\cdot31-3\bigg(\frac{30}{n-1}\bigg)=\\\\=62-\frac{90}{n-1}$

3. Сумма всех неизвестных членов:

$\displaystyle \tt S_{n-2}=\frac{a_1+d+a_n-d}{2}\cdot (n-2)= \frac{a_1+a_n}{2}\cdot (n-2)=\\\\\\= \frac{1+31}{2}\cdot (n-2)= \frac{32}{2}\cdot (n-2)= 16(n-2)$

4. По условию сумма всех неизвестных членов вчетверо больше суммы двух наибольших из них, тогда:

$\displaystyle \tt 62-\frac{90}{n-1}=\frac{16(n-2)}{4} \\\\ 62-\frac{90}{n-1}=4(n-2); \ \ \ n\neq 1\\\\ 62-\frac{90}{n-1}=4n-8 \\\\ 62(n-1)-90=(4n-8)(n-1)\\\\ 62n-62-90=4n^2-4n-8n+8\\\\ 4n^2-74n+160=0 \ \ |:2 \\\\ 2n^2-37n+80=0 \\\\D=1369-640=729=27^2$

$\displaystyle \tt n_1=\frac{37-27}{4}=2.5$      не удовлетворяет условию

$\displaystyle \tt n_2=\frac{37+27}{4}=16$

В данной арифметической прогрессии всего 16 членов, значит, между числами 1 и 31 нужно вписать 16 - 2 = 14 членов.

ответ: 14.

Answer 2

Пусть мы вписали (n-2) числа
между 1 и 31,
тогда
Имеем арифметическую прогрессию
1, 1+d, 1+2d,...1+(n-2)d, 31
a¹=1
a²=1+d
a³=1+2d
...
аⁿ-²=1+(n-3)d
aⁿ-¹=1+(n-2)d
aⁿ=31
d- разность прогрессии

сумма вписанных членов прогрессии будет равна
сумме прогрессии
от 1 до 31
минус сами числа 1 и 31:

S(a²aⁿ-¹)=S(1 ...31)-1-31=
=½(1+31)n-32=16n-32=
=16(n-2)

сумма наибольших вставленных
между 1 и 31 членов прогрессии будет равна:
1+(n-2)d +1+(n-3)d=
=2+(2n-5)d
по условию
16(n-2)=4(2+(2n-5)d)
4(n-2)=2+(2n-5)d
4n-10=(2n-5)d
d=2
...
замечаем,что
aⁿ-¹=aⁿ-d
1+(n-2)d==31-d
(n-1)d=30
n-1=30/d
n=16

А вставили мы (n-2)=14 чисел

То есть между 1 и 31 вставлены числа:
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27 и 29
Всего этих чисел 14

ответ: 14 чисел