т.к. f(x) всегда положительна, то наименьшее значение может быть 0 и больше.
Посмотрим, существуют ли а, при которых f(x) принимает значение равное 0 на отрезке [-5;5]. Т.е. задача равносильна задаче
При каких а, у квадратного уравнения 
есть корни принадлежащие отрезку [-5;5]
Очевидно, что если 2a-49>0, то решений нет. О.В.Р:
Рассмотрим а=<0. При таких а выражение |a|+a обращается в 0 следовательно вершина лежит на оси х=0
Тогда при а=<0 нам необходимо и достаточно условия f(5)>=0
Почему?
Нарисуем параболлу. Мы видим, что если в точке b(по оси абцисс) параболла принимает положительное значение, то пересечение с осью абцисс лежит левее b
Рассмотрим а>0
Вершина параболлы будет лежать в 3 четверти координатной плоскости(где x и y отрицательны). Вершина по оси ординат лежит ниже 0 следует из того, что а=<24,5, а то, что вершина лежит левее нуля по оси абцисс следует из того, что |a|+a>0
Поэтому и здесь нам достаточно условия, что f(5)>=0
Теперь наша задача свелась к решению неравенства
f(5)>=0, a=<24,5
В итоге ответ:
решение смотри внизу