Question

Решите уравнение sin^6 x+cos^6 x=a(sin^4 x+cos^4 x) при всех действительных значениях параметра a.​

Answer 1

$\sin^6x+\cos^6x=a(\sin^4x+\cos^4x)\\ \\ (\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)=a(\sin^4x+\cos^4x)\\ \\ \sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x=a(\sin^4x+\cos^4x)$

$\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-3\sin^2x\cos^2x=a(\sin^4x+\cos^4x\pm2\sin^2x\cos^2x)$

$(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x=a\Big((\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\Big)\\ \\ 1-\dfrac{3}{4}\sin^22x=a\Big(1-\dfrac{1}{2}\sin^22x\Big)~~~~\bigg|\cdot 4\\ \\ \\ 4-3\sin^22x=4a-2a\sin^22x\\ \\ (2a-3)\sin^22x=4a-4\\ \\ \sin^22x=\dfrac{4(a-1)}{2a-3}$

Уравнение имеет решение, если $0\leqslant \dfrac{4(a-1)}{2a-3}\leqslant 1$ откуда получаем $0.5\leqslant a\leqslant 1$

Для $\left[\begin{array}{ccc}a1\end{array}\right$ уравнение решений не имеет.