Question

40 !
решить квадратныое уравнение:
x^2+px+4=0
x1, x2 -- его корни, причём x1^2+x^2=10
найти x1, x2

Answer 1

x1 = √2, x2 = 2√2;

x1 = -2√2, x2 = -√2

По теореме Виета, x1+x2 = -p, x1*x2 = 4. Используя условие x1^2 + x2^2 = 10, найдем x1+x2:

x1^2 + x2^2 = (x1+x2)^2 - 2*x1*x2 = 10

Отсюда (x1+x2)^2 = 10 + 2 * 4 = 18, то есть x1+x2 = ±3√2. В итоге можно получить два возможных уравнения:

1) x^2 - 3√2*x + 4 = 0

D = (-3√2)^2 - 4 * 4 = 2

x1 = (3√2 - √2) / 2 = √2

x2 = (3√2 + √2) / 2 = 2√2

2) x^2 + 3√2*x + 4 = 0

D = (3√2)^2 - 4 * 4 = 2

x1 = (-3√2 - √2) / 2 = -2√2

x2 = (-3√2 + √2) / 2 = -√2

Answer 2

${x}_{1} = \frac{ - p + \sqrt{p^2+16} }{2} \\ {x}_{2} = \frac{ - p - \sqrt{p^2+16} }{2}$

подставляем в другое уравнение

${ (\frac{ - p + \sqrt{p^2+16} }{2})}^{2} + { (\frac{ - p - \sqrt{p^2+16} }{2})}^{2} = 10 \\ \frac{ {(- p + \sqrt{p^2+16})^{2} + (- p - \sqrt{p^2+16})^{2} } }{4} = 10 \\ \ {(- p + \sqrt{p^2+16)}^{2} + (- p - \sqrt{p^2+16})^{2} } = 40 \\ {p}^{2} - 2p\sqrt{p^2+16} + {p}^{2} + 16 + {p}^{2} + 2p\sqrt{p^2+16} + {p}^{2} + 16 = 40 \\ 4 {p}^{2} + 32 = 40 \\ {p}^{2} = 2 \\ p = \sqrt{2}$

${x}_{1} = \frac{ - \sqrt{2} + \sqrt{\sqrt{2}^2+16} }{2} =\frac{ \sqrt{20} - \sqrt{2} }{2} \\ {x}_{2} = \frac{ - p - \sqrt{p^2+16} }{2} = \frac{ - \sqrt{20} - \sqrt{2} }{2}$