Для другой касательной 2x₂ + b = -5, тогда b = -5 - 2x₂.
Приравняем ординаты параболы и касательной:
6x₁ = x₁2 + bx₁ + c или x₁2 + (b – 6)x₁ + c = 0.
Для другой касательной -5x₂ = x₂2 + bx₂ + c или x₂2 + (b + 5)x₂ + c = 0.
Подставим значение b в каждое уравнение.
x₁² + (6 – 2x₁ – 6)x₁ + c = 0 или x₁² - 2x₁² + c = 0, отсюда с = x₁².
Во второе: x₂² + (-5 – 2x₂ + 5)x₂ + c = 0 или x₂² - 2x₂² + c = 0, отсюда с = x₂².
То есть x₁² = x₂².
Так как по свойству параболы касательные с разными знаками угловых коэффициентов могут быть только к разным веткам параболы, то есть абсциссы точек касания имеют разные знаки.
Тогда x₁ = -x₂.
Подставим эти значения в выражения для b: b = 6 - 2x₁ и b = -5 - 2x₂:
b = 6 - 2x₁ b = 6 - 2x₁
b = -5 – 2(-x₁) b = -5 + 2x₁. Сложив эти уравнения, получаем 2b = 1, откуда b = ½ = 0,5.
Теперь можно определить координаты точек касания из выражения 2x₁ + b = 6.
x₁ = (6 - b)/2 = (6 – 0.5)/2 = 2,75.
Тогда x₂ = -2,75.
Осталось найти коэффициент с.
Его значение определим из выражения 6x₁ = x₁² + bx₁ + c.
ОДЗ : х² - 5х - 23 ≥ 0 2х² - 10х - 32 ≥ 0 Решение системы двух неравенств не так просто, поэтому при нахождении корней достаточно сделать проверку. Подставить корни в систему неравенств или подставить корни в уравнение
Так как 2х²-10х-32=2(х²-5х-16) то применяем метод замены переменной
х²-5х-23=t ⇒ x²-5x=t+23 x²-5x-16=t+23-16=t+7
Уравнение примет вид √t + √2·(t+7)=5
или
√2·(t+7) = 5 - √t
Возводим обе части уравнения в квадрат При этом правая часть должна быть положительной или равной 0 ( (5 - √t)≥0 ⇒√ t ≤ 5 ⇒ t ≤ 25)
2·( t + 7) = 25 - 10 √t + t
или
10·√t = 25 + t - 2t - 14
10·√t = 11 - t
Еще раз возводим в квадрат, при условии, что 11 - t ≥ 0 t ≤ 11 Получаем уравнение
100 t = 121 - 22 t + t², при этом t ≤ 11
t² - 122 t + 121 = 0
D=122²-4·121=14884 - 484 = 14400=120
t₁=(122-120)/2= 1 или t₂= (122+120)/2 = 121 не удовлетворяет условию ( t ≤ 11)
Производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.
y’ = 2x + b.
Приравняем производную заданным значениям угловых коэффициентов касательных:
2x₁ + b = 6, отсюда b = 6 - 2x₁.
Для другой касательной 2x₂ + b = -5, тогда b = -5 - 2x₂.
Приравняем ординаты параболы и касательной:
6x₁ = x₁2 + bx₁ + c или x₁2 + (b – 6)x₁ + c = 0.
Для другой касательной -5x₂ = x₂2 + bx₂ + c или x₂2 + (b + 5)x₂ + c = 0.
Подставим значение b в каждое уравнение.
x₁² + (6 – 2x₁ – 6)x₁ + c = 0 или x₁² - 2x₁² + c = 0, отсюда с = x₁².
Во второе: x₂² + (-5 – 2x₂ + 5)x₂ + c = 0 или x₂² - 2x₂² + c = 0, отсюда с = x₂².
То есть x₁² = x₂².
Так как по свойству параболы касательные с разными знаками угловых коэффициентов могут быть только к разным веткам параболы, то есть абсциссы точек касания имеют разные знаки.
Тогда x₁ = -x₂.
Подставим эти значения в выражения для b: b = 6 - 2x₁ и b = -5 - 2x₂:
b = 6 - 2x₁ b = 6 - 2x₁
b = -5 – 2(-x₁) b = -5 + 2x₁. Сложив эти уравнения, получаем 2b = 1, откуда b = ½ = 0,5.
Теперь можно определить координаты точек касания из выражения 2x₁ + b = 6.
x₁ = (6 - b)/2 = (6 – 0.5)/2 = 2,75.
Тогда x₂ = -2,75.
Осталось найти коэффициент с.
Его значение определим из выражения 6x₁ = x₁² + bx₁ + c.
с = 6x₁ - x₁² - bx₁ = 6*2,75 – 2,75² – 0,5*2,75 = 7,5625.
ответ: уравнение параболы у = х² + 0,5х + 7,5625.