Чтобы найти максимум функции Y=(x+9)e^(9-x), мы должны найти точку, в которой производная функции равна нулю (поскольку максимум или минимум функции находятся в точках, где его производная равна нулю).
1. Сначала найдем производную функции Y относительно x, используя правило производной произведения (дважды примененного к этой функции):
1. Сначала найдем производную функции Y относительно x, используя правило производной произведения (дважды примененного к этой функции):
dY/dx = d/dx[(x+9)e^(9-x)] = (d/dx(x+9))(e^(9-x)) + (x+9)(d/dx(e^(9-x)))
2. Вычислим первую и вторую производные:
d/dx(x+9) = 1
d/dx(e^(9-x)) = -e^(9-x) (производная экспоненты -e^x)
С учетом этих производных, мы можем найти dY/dx:
dY/dx = 1(e^(9-x)) + (x+9)(-e^(9-x))
= e^(9-x) - (x+9)e^(9-x)
= (1 - x - 9)e^(9-x)
= (10 - x)e^(9-x)
3. Чтобы найти точку, в которой производная равна нулю, приравняем dY/dx к нулю и решим уравнение:
(10 - x)e^(9-x) = 0
Так как экспонента e^(9-x) всегда положительна, решением этого уравнения является (10 - x) = 0, то есть x = 10.
4. Теперь найдем значение функции Y в этой точке, чтобы определить, будет ли это максимум или минимум:
Y(10) = (10+9)e^(9-10)
= 19e^(-1)
= 19 * (1/e)
= 19/e
Таким образом, максимум функции Y=(x+9)e^(9-x) достигается при x = 10, а значение функции в этой точке равно 19/e.