№1. Вынесите множитель за знак корня:
а) √28
Для выноса множителя за знак корня, нам нужно разложить число под знаком корня на множители. Заметим, что 28 можно разложить на два множителя: 4 и 7. Тогда √28 = √(4 * 7).
Мы можем вынести корень из квадратного множителя: √(4 * 7) = √4 * √7 = 2√7
б) √160
Техника решения такая же. Разложим число под знаком корня на множители: 160 = 16 * 10. А дальше выносим корень из квадратных множителей: √(16 * 10) = √16 * √10 = 4√10
в) 3/5 √175
Здесь мы умножаем два множителя: 3/5 и √175. Выносим корень: 3/5 * √(25 * 7) = 3/5 * √25 * √7 = 3/5 * 5 * √7 = 3√7
г) -0,01√30000
Если мы разложим число 30000 на множители, то получим 30000 = 25 * 4 * 3 * 10.
Теперь вынесем корень: -0.01 * √(25 * 4 * 3 * 10) = -0.01 * √25 * √4 * √3 * √10 = -0.01 * 5 * 2 * √3 * √10 = -0.1 * 10√3 = -√3
№2. Вынесите множитель за знак корня:
а) √(5^2 * 3)
Разложим число 5^2 * 3 на множители: 5^2 * 3 = 25 * 3. Теперь вынесем корень: √(25 * 3) = √25 * √3 = 5√3
№4. Докажите, что √(9-6√2) = √6 - √3
Для доказательства равенства, нам нужно воспользоваться квадратными тождествами.
Мы знаем, что (a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2, а также (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2.
Воспользуемся этими формулами.
Из задачи, у нас дано √(9 - 6√2).
Предлагаю обозначить √2 как а, тогда наше равенство будет выглядеть так: √(9 - 6а) = √6 - √3.
Возведем (√(9 - 6а))^2 и (√6 - √3)^2 в квадрат, так как они могут быть равны только при равенстве соответствующих их квадратов.
(√(9 - 6а))^2 = (9 - 6а) = 9 - 12а + 6а^2.
Извлекаем корень из (√6 - √3)^2: (√6 - √3) = 6 - 2√18 + 3.
Теперь сравниваем обе части равенства:
9 - 12а + 6а^2 = 6 - 2√18 + 3.
Упростим выражение и приведем подобные члены:
6а^2 - 2√18 - 12а + 3= 0.
Заметим, что √18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3√2.
Теперь подставим это значение в уравнение:
6а^2 - 2 * 3√2 - 12а + 3= 0.
6а^2 - 6√2 - 12а + 3= 0.
Упростим уравнение:
6а^2 - 12а - 6√2 + 3= 0.
Разделим все коэффициенты на 3. Получим:
2а^2 - 4а - 2√2 + 1 = 0.
Теперь нам нужно найти решения этого уравнения.
Применим квадратное уравнение общего вида: ах^2 + bx + c = 0.
Для начала найдем дискриминант по формуле: D = b^2 - 4ac.
Значение a равно 2, b равно -4, а c равно -2√2 + 1.
D = (-4)^2 - 4 * 2 * (-2√2 + 1).
D = 16 + 16√2 - 8.
D = 8 + 16√2.
Готовим формулу для нахождения решений:
x = (-b ± √D) / 2a.
Подставляем значения:
x = (-(-4) ± √(8 + 16√2)) / (2 * 2).
x = (4 ± √(8 + 16√2)) / 4.
Упростим выражение под корнем вместе со знаком корня:
√(8 + 16√2) = √8 * √(1 + 2√2).
Итак, у нас получилось два решения: x = 1 + 3√2 и x = 1 - 3√2.
Теперь вернемся к основному вопросу: докажем, что √(9 - 6√2) = √6 - √3.
Мы показали, что (√(9 - 6√2))^2 = (√6 - √3)^2.
Теперь возведем обе части равенства в квадрат:
(√(9 - 6√2))^2 = (√6 - √3)^2.
9 - 6√2 = 6 - 2√6√3 + 3.
Сокращаем и упрощаем:
3 = 3.
Таким образом, равенство (√(9 - 6√2))^2 = (√6 - √3)^2 доказано.
Надеюсь, эта подробная и обстоятельная информация помогла вам понять, как решить данные задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!
Добрый день! Сегодня мы с вами будем решать задачу, связанную с измерением количества выпавших осадков.
В тексте задачи сказано, что для измерения количества выпавших осадков используют дождемер, который представляет собой специальный прибор. Самый простой дождемер - это обычное ведро с вертикальными стенками, устанавливаемое на высоте 1-2 м над уровнем земли. Чтобы предотвратить попадание брызги от сильного дождя внутрь ведра, вокруг него устраивают защиту от ветра. Если специального дождемера нет, можно использовать любое ведро или банку.
Для измерения осадков, выпавших в виде снега или града, сначала их нужно превратить в талую воду. Затем, чтобы узнать объем накопившейся воды, необходимо разделить его на площадь верхнего среза ёмкости.
Задача поставлена следующим образом: нужно сравнить объем воды, выпавшей в виде осадков в Москве 12 октября, с объемом воды в Черном озере. Для этого нам даны следующие данные:
- Количество выпавших осадков в Москве 12 октября составило 0,2 мм.
- Площадь Черного озера равна 0,25 км.
- Средняя глубина Черного озера составляет 2,1 м.
- Площадь Москвы равна 2511 км.
Для начала необходимо перевести площадь Черного озера из квадратных метров в квадратные миллиметры, так как количество осадков измеряется в миллиметрах. Для этого воспользуемся следующими преобразованиями:
1 кв. м = 1 000 000 кв. мм
0,25 км = 0,25 * 1000 * 1000 кв. мм = 250 000 кв. мм
Теперь у нас есть площадь Черного озера в квадратных миллиметрах.
Далее нам следует рассчитать объем воды, выпавшей в Москве 12 октября. Для этого нужно учесть, что количество осадков измеряется в миллиметрах, а площадь Москвы дана в квадратных километрах. Переведем площадь Москвы в квадратные миллиметры:
1 кв. км = 1 000 000 000 000 кв. мм
2511 км = 2511 * 1 000 000 000 000 кв. мм = 2 511 000 000 000 000 кв. мм
Теперь мы можем рассчитать объем воды, выпавшей в Москве:
Объем осадков в Москве = площадь Москвы * количество осадков
Объем осадков в Москве = 2 511 000 000 000 000 кв. мм * 0.2 мм = 502 200 000 000 000 куб. мм
Теперь нам необходимо сравнить объем воды, выпавшей в Москве, с объемом воды в Черном озере. Объем воды в Черном озере можно рассчитать, умножив площадь Черного озера на его среднюю глубину:
Объем воды в Черном озере = площадь Черного озера * средняя глубина
Объем воды в Черном озере = 250 000 кв. мм * 2.1 м = 525 000 куб. мм
Теперь у нас есть объемы воды, выпавшей в Москве и объем воды в Черном озере. Мы видим, что объем воды, выпавшей в Москве (502 200 000 000 000 куб. мм), больше, чем объем воды в Черном озере (525 000 куб. мм).
Итак, ответ на задачу состоит в том, что объем воды, выпавшей в Москве 12 октября, больше, чем объем воды в Черном озере.
Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и помогло вам понять решение задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задайте их, и я с удовольствием помогу вам.
№1. Вынесите множитель за знак корня:
а) √28
Для выноса множителя за знак корня, нам нужно разложить число под знаком корня на множители. Заметим, что 28 можно разложить на два множителя: 4 и 7. Тогда √28 = √(4 * 7).
Мы можем вынести корень из квадратного множителя: √(4 * 7) = √4 * √7 = 2√7
б) √160
Техника решения такая же. Разложим число под знаком корня на множители: 160 = 16 * 10. А дальше выносим корень из квадратных множителей: √(16 * 10) = √16 * √10 = 4√10
в) 3/5 √175
Здесь мы умножаем два множителя: 3/5 и √175. Выносим корень: 3/5 * √(25 * 7) = 3/5 * √25 * √7 = 3/5 * 5 * √7 = 3√7
г) -0,01√30000
Если мы разложим число 30000 на множители, то получим 30000 = 25 * 4 * 3 * 10.
Теперь вынесем корень: -0.01 * √(25 * 4 * 3 * 10) = -0.01 * √25 * √4 * √3 * √10 = -0.01 * 5 * 2 * √3 * √10 = -0.1 * 10√3 = -√3
№2. Вынесите множитель за знак корня:
а) √(5^2 * 3)
Разложим число 5^2 * 3 на множители: 5^2 * 3 = 25 * 3. Теперь вынесем корень: √(25 * 3) = √25 * √3 = 5√3
б) √(7^2 * 3^3)
Аналогично разложим число 7^2 * 3^3 на множители: 7^2 * 3^3 = 49 * 27. Вынесем корень: √(49 * 27) = √49 * √27 = 7 * √3^3 = 7 * 3 = 21
№3. Внесите множитель под знак корня:
а) 6√2
Здесь никакого внесения множителя не требуется. Ответ: 6√2
б) 1/2 √8х
Мы перемножаем два множителя: 1/2 и √8х. Внесем множитель под знак корня: 1/2 * √(8х) = √(4х) = 2√х
в) -10√0,2р
Аналогично предыдущему пункту, перемножаем два множителя: -10 и √0,2р. Внесем множитель под знак корня: -10 * √(0,2р) = -10 * √(0,2 * р) = -10 * √(0,2) * √р = -10 * √(2/10) * √р = -10 * √(2/10) * √р = -10 * √2/√10 * √р = -10 * √2/√10 * √р = -10 * √2/√10 * √р = -10 * √2/√10 * √р = -10 * (1/√10) * √2 * √р = -10 * (1/√10) * √2 * √р = -10/√10 * √2 * √р = -10/10 * √2 * √р = -√2 * √р = -√(2р)
№4. Докажите, что √(9-6√2) = √6 - √3
Для доказательства равенства, нам нужно воспользоваться квадратными тождествами.
Мы знаем, что (a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2, а также (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2.
Воспользуемся этими формулами.
Из задачи, у нас дано √(9 - 6√2).
Предлагаю обозначить √2 как а, тогда наше равенство будет выглядеть так: √(9 - 6а) = √6 - √3.
Возведем (√(9 - 6а))^2 и (√6 - √3)^2 в квадрат, так как они могут быть равны только при равенстве соответствующих их квадратов.
(√(9 - 6а))^2 = (9 - 6а) = 9 - 12а + 6а^2.
Извлекаем корень из (√6 - √3)^2: (√6 - √3) = 6 - 2√18 + 3.
Теперь сравниваем обе части равенства:
9 - 12а + 6а^2 = 6 - 2√18 + 3.
Упростим выражение и приведем подобные члены:
6а^2 - 2√18 - 12а + 3= 0.
Заметим, что √18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3√2.
Теперь подставим это значение в уравнение:
6а^2 - 2 * 3√2 - 12а + 3= 0.
6а^2 - 6√2 - 12а + 3= 0.
Упростим уравнение:
6а^2 - 12а - 6√2 + 3= 0.
Разделим все коэффициенты на 3. Получим:
2а^2 - 4а - 2√2 + 1 = 0.
Теперь нам нужно найти решения этого уравнения.
Применим квадратное уравнение общего вида: ах^2 + bx + c = 0.
Для начала найдем дискриминант по формуле: D = b^2 - 4ac.
Значение a равно 2, b равно -4, а c равно -2√2 + 1.
D = (-4)^2 - 4 * 2 * (-2√2 + 1).
D = 16 + 16√2 - 8.
D = 8 + 16√2.
Готовим формулу для нахождения решений:
x = (-b ± √D) / 2a.
Подставляем значения:
x = (-(-4) ± √(8 + 16√2)) / (2 * 2).
x = (4 ± √(8 + 16√2)) / 4.
Упростим выражение под корнем вместе со знаком корня:
√(8 + 16√2) = √8 * √(1 + 2√2).
Попробуем вынести √2 из корня:
√(1 + 2√2) = √((√2)^2 + 2 * √2 * 1 + (1)^2) = √((√2 + 1)^2).
Теперь у нас получилось √(8 + 16√2) = √8 * √(1 + 2√2) = √8 * √((√2 + 1)^2) = 2√2 * (√2 + 1).
Тогда x = (4 ± 2√2 * (√2 + 1)) / 4.
Упростим дробь:
x = (4 ± 2√2 * (√2 + 1)) / 4 = (4 ± 2√2 * √2 + 2√2) / 4 = (4 ± 4√2 + 2√2) / 4 = (4 ± 6√2) / 4 = 1 ± 3√2.
Итак, у нас получилось два решения: x = 1 + 3√2 и x = 1 - 3√2.
Теперь вернемся к основному вопросу: докажем, что √(9 - 6√2) = √6 - √3.
Мы показали, что (√(9 - 6√2))^2 = (√6 - √3)^2.
Теперь возведем обе части равенства в квадрат:
(√(9 - 6√2))^2 = (√6 - √3)^2.
9 - 6√2 = 6 - 2√6√3 + 3.
Сокращаем и упрощаем:
3 = 3.
Таким образом, равенство (√(9 - 6√2))^2 = (√6 - √3)^2 доказано.
Надеюсь, эта подробная и обстоятельная информация помогла вам понять, как решить данные задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!