Question

вычислите площадь фигуры ограниченными линиями а)y=x^2+2x-2 и y=-x-2
б) y=x^3+7x^2 и y=x^2-9x

Answer 1

$1)\; \; y=x^2+2x-2\; \; ,\; \; y=-x-2\\\\x^2+2x-2=-x-2\; \; ,\; \; x^2+3x=0\; ,\; \; x(x+3)=0\; ,\; \; x_1=0\; ,\; x_2=-3\\\\S=\int\limits^0_{-3}\Big ((-x-2)-(x^2+2x-2)\Big )\, dx=\int\limits^0_{-3}\, (-x^2-3x)\, dx=\\\\=(-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2})\Big |_{-3}^0=0-(-\frac{-27}{3}-\frac{3\cdot 9}{2})=-9+\frac{27}{2}=\frac{9}{2}=4,5$

$2)\; \; y=x^3+7x^2\; \; ,\; \; y=x^2-9x\\\\x^3+7x^2=x^2-9x\; \; ,\; \; x^3+6x^2+9x=0\; ,\; \; x\, (x^2+6x+9)=0\; ,\\\\x(x+3)^2=0\; \; \to \; \; x_1=0\; ,\; \; x_2=-3\\\\S=\int\limits^0_{-3}\, \Big ((x^2-9x)-(x^3+7x^2)\Big )\, dx=\int\limits^0_{-3}\, (-x^3-6x^2-9x)\, dx=\\\\=(-\frac{x^4}{4}-2x^3-\frac{9x^2}{2})\Big |^0_{-3}=\frac{81}{4}-2\cdot 27+\frac{81}{2}=\frac{243}{4}-54=\frac{27}{4}=6,75$