Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника.
Формулировка теоремы косинусов
Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:
Теорема косинусов
Изображение для пояснения сути теоремы косинусов - квадрат стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное их произведение на косинус угла между ними
Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними
Полезные формулы теоремы косинусов:
Полезные формулы теоремы косинусов - сама теорема, нахождение косинуса угла по трем сторонам и нахождение самого угла по трем сторонам треугольника
Как видно из указанного выше, с теоремы косинусов можно найти не только сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, можно, зная размеры всех сторон треугольника, определить косинусы всех углов, а также вычислить величину любого угла треугольника. Вычисление любого угла треугольника по его сторонам является следствием преобразования формулы теоремы косинусов.
Доказательство теоремы косинусов
Теорема Косинусов
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a)
Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.
Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что
AB = AD + BD
Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:
AD / AC = cos α
откуда
AD = AC cos α
AD = b cos α
Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:
BD = AB - AD
BD = c − b cos α
Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
для треугольника BDC
CD2 + BD2 = BC2
для треугольника ADC
CD2 + AD2 = AC2
Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону - CD. Определим ее длину для каждого треугольника - вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное - в правую.
CD2 = BC2 - BD2
CD2 = AC2 - AD2
Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений:
BC2 - BD2 = AC2 - AD2
Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
AC = b (по условию)
А значение стороны BC обозначим как a.
BC = a
(Именно его нам и нужно найти)
Получим:
BC2 - BD2 = AC2 - AD2
Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений
a2 - ( c − b cos α )2 = b2 - ( b cos α )2
перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения - на правую
a2 = ( c − b cos α )2 + b2 - ( b cos α )2
раскроем скобки
a2 = b2 + c 2 - 2c b cos α + ( b cos α )2 - ( b cos α )2
получаем
a2 = b2 + c 2 - 2bc cos α
Теорема косинусов доказана.
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.
Объяснение:
Мышцы ног – самая большая мышечная группа. Составляет примерно 50% общей мускулатуры человека. Это ягодичные мышцы, квадрицепсы, бицепсы бедра, икроножные мышцы.
Мышцы живота – прямые и косые мышцы.
Для поддержания мышц в тонусе и оздоровления существуют разные комплексы упражнений. В свою очередь эти упражнения условно можно разделить на три группы:
• упражнения, в которых участвует одна группа мышц;
• упражнения, в которых участвуют несколько групп мышц;
• упражнения, в которых участвуют почти все группы мышц.
Нельзя забывать, что все упражнения нужно выполнять в определённой последовательности и дозировке. Обычно упражнения начинают делать с головы, а заканчивают прыжками, бегом или ходьбой на месте.
Дозировка нагрузки – это важный момент в выполнении упражнений, касающийся изменения интенсивности и длительности нагрузки. Упражнения можно делать дольше и интенсивнее или, наоборот, уменьшить интенсивность и количество упражнений на те или иные группы мышц при их усталости. Также это касается и интервалов между упражнениями.
Существует много разных упражнений, но составляя свой комплекс, нужно точно знать цель упражнения, его дозировку и последовательность упражнений в комплексе.
Рассмотрим разминочный комплекс из 12 упражнений.
Для мышц шеи
- и. п. ноги на ширине плеч, руки на пояс. Наклоны головой. На счёт 1 наклон головы вперёд, на счёт 2 назад, на счёт три 3 в левую сторону, на счёт 4 в правую сторону.
- и. п. тоже. Повороты головой. На счёт 1,2 поворот головы в левую сторону, на счёт 3,4 в правую сторону.
- и. п. тоже. Круговые движения головой. На счёт 1,2,3,4 круговые движения в левую сторону. На счёт 1,2,3,4 в правую сторону.
Для мышц рук
- и. п. ноги на вместе, правую руку вверх над головой, левую руку вниз в дол туловища. Рывки руками. На счёт 1,2 рывки руками, на счёт 3,4 смена положения рук.
- и. п. ноги на ширине плеч, руки перед грудью. Рывки руками. На счёт 1,2 рывки руками перед собой, на счёт 3,4 рывки руками с отведением рук в левую сторону. На счёт 1,2 рывки руками перед собой, на счёт 3,4 рывки руками с отведением рук в правую сторону.
- и. п. ноги на ширине плеч, руки к плечам. Круговые движения плечами. На счёт 1,2,3,4 круговые движения вперёд. На счёт 1,2.3,4 круговые движения назад.
Для мышц спины и ног
- и. п. ноги на ширине плеч, руки на пояс. Наклоны туловища. На счёт 1 наклон туловища вперёд, на 2 назад, на 3 в левую сторону, на 4 в правую сторону.
- и. п. тоже. Повороты туловищем. На счёт 1,2 повороты туловища в левую сторону, на счёт 3,4 в правую сторону.
- и. п. тоже. Круговые движения туловищем. На счёт 1,2,3,4 круговые движения туловищем в левую сторону, на счёт 1,2,3,4 в правую сторону.
Для мышц ног
- и. п. Ноги вместе. Руки на пояс. Прыжки на месте.
- и. п. Ноги на ширине плеч, руки вытянули перед собой. Махи ногами. На счёт 1,2 махом левой ноги носком касаемся кисти правой руки, на счёт 3,4 махом правой ноги носком касаемся кисти левой руки.
- и. п. (для девочек) руки на пояс, ноги на ширине плеч. (для мальчиков) руки за голову ноги на ширине плеч.
Приседания.
-43/4
Объяснение:
на фото ++++++++++++++++++++++++