Question

Y(x)=lntgx; y'(П/4)
Найти производную функции при данном значении аргумента.

Answer 1

Для нахождения производной функции Y(x) = lntgx при данном значении аргумента x = П/4, мы будем использовать правило дифференцирования функции, содержащей логарифм.

Шаг 1: Найдем производную функции y(x) = lntg(x).

Правило дифференцирования функции, содержащей логарифм, гласит:
d/dx (ln(u(x))) = u'(x) / u(x),

где u(x) - функция, содержащаяся в логарифме.

В нашем случае, функция Y(x) содержит аргументом внутри логарифма функцию tg(x), поэтому мы должны использовать правило для дифференцирования функции, содержащей тангенс.

Формула дифференцирования тангенса:
(d/dx)(tg(x)) = 1 / (cos^2(x)).

Теперь, применим правило дифференцирования, чтобы найти производную функции Y(x):
Y'(x) = (1 / (cos^2(x))) / (tg(x))

Шаг 2: Подставим значение аргумента x = П/4 в формулу для производной функции.

Y'(П/4) = (1 / (cos^2(П/4))) / (tg(П/4))

Так как cos(П/4) = sqrt(2)/2 и tg(П/4) = 1, получим:

Y'(П/4) = (1 / ((sqrt(2)/2)^2)) / 1

Y'(П/4) = (1 / (2/4)) / 1

Y'(П/4) = 4 / 2

Y'(П/4) = 2

Таким образом, производная функции Y(x) при аргументе x = П/4 равна 2.