Найдите первообразную F(x) для функции f(x) = 2 + sin4x ,
если F(π/4) = -3π . В ответе укажите F(7π/4) .
F(x) = ∫f(x)dx =∫( 2 + sin4x)dx =∫2dx + ∫sin4xdx =∫2dx +(1/4)∫sin4xd(4x) =
= 2x - cos(4x) / 4 + C .
F(x) = 2x - 0,25cos(4x) + C ( семейство первообразных ) Определим постоянной С используя условие : F(π/4) = - 3π
F(π/4) =2*π/4 - 0,25cos(4*π/4) +C=0,5π +0,25cos(π) + C
- 3π = 0,5π + 0,25 + C ⇒ C = - 3,5π - 0,25
F(x) = 2x - 0,25cos(4x) - 3,5π - 0,25 .
F(7π/4) = 2*(7π/4) - 0,25cos(4*(7π/4)) - 3,5π - 0,25 =
= 3,5π - 0,25cos(7π) - 3,5π - 0,25 = 0
ответ: 0
* * * P.S. F(7π/4) можно получить другим
F(7π/4) - F(π/4) = 2*(7π/4) - 0,25cos(4*(7π/4)) - 2*π/4 + 0,25cos(4*(π/4)) = 3,5π - 0,25cos(7π) - 0,5π + 0,25cos(π) =3π
F(7π/4) = F(π/4) + 3π = - 3π + 3π = 0
а)В силу правила, применим: x^7 получим 7x^6
ответ:7x^6
б) Производная постоянной 5 равна нулю.
ответ:0
в)Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
В силу правила, применим: 1/x получим −1x^2
Таким образом, в результате: 6/x^2
6/x^2
Г) дифференцируем y=4x+5 почленно:
Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.В силу правила, применим: x получим 1Таким образом, в результате: 4Производная постоянной 5 равна нулю.В результате: 4ответ:4
Д)cos(x)+1/4√x
Найдем первообразную для функции f(x)=2+sin4x
F(x)=2x-(cos4x)/4+c
подставим координаты указанной точки
2*π/4-(cosπ)/4+c=-3π
c=-3π-1/4-π/2; c=-3.5π-0.25
F(x)=2x-(cos4x)/4-0.25- уравнение первообразной, проходящей через точку (π/4; -3π).
F(7π/4)=2*7π/4-(cos7π)/4-3.5π-0.25=7π/2-(cosπ)/4-3.5π-0.25=
7π/2+1/4-0.25-3.5π=0