Question

Первообразная функции f(x)=6 cos 3x-12 sin 6x в точке x=pi/2 принимает значение 4. Какое значение принимает та же первообразная в точке x=pi/6?

Answer 1

Для решения этой задачи нужно использовать знание о первообразных функций и методах дифференцирования тригонометрических функций.

Для начала найдем первообразную функции f(x). Для этого нужно поочередно проинтегрировать каждый из слагаемых в функции f(x).

∫6 cos 3x dx = (6/3) sin 3x + C1 = 2 sin 3x + C1,
где C1 - произвольная постоянная.

∫-12 sin 6x dx = (-12/6) cos 6x + C2 = -2 cos 6x + C2,
где C2 - также произвольная постоянная.

Теперь найдем общую первообразную функции f(x):

F(x) = 2 sin 3x - 2 cos 6x + C,
где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

Таким образом, мы получили общую первообразную функции f(x).

Теперь мы можем использовать данную первообразную для вычисления значения функции в различных точках.

В задаче нам дано, что первообразная функции f(x) в точке x = pi/2 принимает значение 4:

F(pi/2) = 2 sin(3 * pi/2) - 2 cos(6 * pi/2) + C = 4.

Учитывая, что sin(3 * pi/2) = -1 и cos(6 * pi/2) = 1, получаем:

-2 + 2 + C = 4,
C = 4.

Теперь мы можем найти значение первообразной функции в точке x = pi/6:

F(pi/6) = 2 sin(3 * pi/6) - 2 cos(6 * pi/6) + C = 2 sin(pi/2) - 2 cos(pi) + 4.

Учитывая, что sin(pi/2) = 1 и cos(pi) = -1, получаем:

2 - (-2) + 4 = 2 + 2 + 4 = 8.

Поэтому значение первообразной функции в точке x = pi/6 равно 8.

Итак, ответ на задачу состоит в том, что первообразная функции f(x)=6 cos 3x-12 sin 6x в точке x=pi/6 принимает значение 8.