ответ: 1/x1^3 +1/x2^3=72
Уравнение с корнями противоположными квадратам данных : 4x^2+156x+9=0
Уравнение с корнями обратными данным: 3t^2-12t-2=0
Объяснение:
Пусть x1,x2-корни данного уравнения.
Составим уравнение которое имеет корни противоположные квадратами данного уравнения:
2x^2+12x-3=0
По теореме Виета:
x1+x2=-12/2=-6
x1*x2=-3/2
Найдем сумму квадратов его корней взятых с противоположным знаком:
-x1^2+(-x2^2)=-(x1^2+x2^2)= - ( (x1+x2)^2-2x1*x2)=-(36-(-3) )=-39
Найдем произведение квадратов корней взятых с противоположным знаком:
-(x1)^2*(-(x2)^2)=(x1*x2)^2= (-3/2)^2=9/4
По теореме обратной теореме Виета:
корни -(x1)^2 и -(x2)^2 являются корнями следующего уравнения:
x^2-(-x1^2+(-x2^2) )*x + (-(x1)^2*(-(x2)^2) )=0
x^2+39x+9/4=0
4x^2+156x+9=0
Для общего развития оставлю как находить уравнение с корнями обратными данным.
Для того чтобы составить уравнение с корнями обратными данным, нужно подставить вместо x ,1/t
(2/t)^2 +12/t -3=0
3t^2-12t-2=0 - уравнение с корнями:
t1=1/x1 и t2=1/x3 .(Этот простой приём справедлив для многочлена любой степени)
По теореме Виета:
t1+t2=12/3=4
t1*t2=-2/3
1/x1^3 + 1/x2^3=
(1/x1)^3+(1/x2)^3=t1^3+t2^3=
(t1+t2)*(t1^2-t1*t2+t2^2)=
(t1+t2)*( (t1+t2)^2-3t1*t2)=4*(16+2)=72
2х²+12х-3=0, по теореме ВИета х₁+х₂=-12/2=-6, а х₁*х₂=-3/2;
1/х₁³+1/х₂³=(х₂³+х₁³)/((х₁*х₂)³)=
((х₁+х₂)(х₁²-х₁х₂+х₂²))/((х₁*х₂)³)=-6*((х₁+х₂)²-3х₁*х₂)/((х₁*х₂)³)=
-6*(36-3*(-3/2))((-3/2)³)=-6*(72+9)/((2*(-3/2)*(9/4))=(4*6*3)=72
Корни данного квадратного уравнения равны (-6±√(36+6))/2=-3±0.5√42;
Квадраты корней данного уравнения равны (-3-0.5√42)²=(3+0.5√42)²=
(9+3√42+42*0.25)=(19.5+3√42), а ему противоположен
-(19.5+3√42).
Квадрат другого корня равен (-3+0.5√42)²=(19.5-3√42), ему противоположен (3√42-19.5), а искомое квадратное уравнение тогда имеет вид
(х-(-(19.5+3√42))(х-(3√42-19.5))=0; (х+19.5+3√42))(х-3√42+19.5))=0;
(х+19.5)²-(3√42)²=0; х²+39х+380.25-9*42=0; х²+39х+2.25=0