При делении целых чисел на 11 мы получаем остатки от 0 до 10. Рассмотрим какие остатки могут давать целые числа в пятой степени при делении на 11. Для этого достаточно возвести числа от 0 до 10 в пятую степень и рассмотреть остатки от их деления на 11. В итоге получим, что при делении целых чисел в пятой степени на 11 получаются остатки 0, 1 и 10. В левой части уравнения стоит сумма трех целых чисел в пятой степени. Следовательно, она может давать остатки 0, 1, 2, 3, 8, 9 и 10. Но 2009 при делении на 11 дает остаток 7. Следовательно уравнение не имеет решений в целых числах.
как всегда с логарифмами ОДЗ и решать неравенство
log(a) b a>0 a≠1 b>0
смотрим и видим что проверять надо только b>0
cначала решим, потом одз найдем и все пересечем
log(1/3) (log(5) ( log(2) (7x - 3)/(x - 4 ≥ 0
log(1/3) (log(5) ( log(2) (7x - 3)/(x - 4 ≥ log(1/3) 1
основание меньше 1, меняем знак при снятии логарифма
log(5) ( log(2) (7x - 3)/(x - 4)) ≤ 1
log(5) ( log(2) (7x - 3)/(x - 4)) ≤ log(5) 5
log(2) (7x - 3)/(x - 4) ≤ 5
log(2) (7x - 3)/(x - 4) ≤ log(2) 2^5
(7x - 3)/(x - 4) - 32 ≤ 0
(7x - 3 - 32x + 128)/(x - 4) = (125 - 25x)/(x - 4) ≤ 0
(x - 5)/(x - 4) ≥ 0
(4) [5]
x ∈ (-∞, 4) U [5, +∞)
ну и пошли одз считать
1. (7x - 3)/(x - 4) > 0
2. log(2) (7x - 3)/(x - 4) > 0
log(2) (7x - 3)/(x - 4) > log(2) 1
(7x - 3)/(x - 4) > 1
3. log(5) ( log(2) (7x - 3)/(x - 4)) > 0
log(5) ( log(2) (7x - 3)/(x - 4)) > log(5) 1
log(2) (7x - 3)/(x - 4) > 1
log(2) (7x - 3)/(x - 4) > log(2) 2
(7x - 3)/(x - 4) > 2
видим что одно значение > 0, 1 и 2
можно каждое посчитать а можно одно большее 2 и оно будет самым обширным
(7x - 3)/(x - 4) - 2 > 0
(7x - 3 - 2x + 8)/(x - 4) > 0
(5x + 5)/(x - 4) > 0
(-1)(4)
x ∈ (-∞, -1) U (4, +∞) пересекаем с x ∈ (-∞, 4) U [5, +∞)
ответ x ∈ (-∞, -1) U [5, +∞)