Решение первое задание n^3+3n^2+5n+3 = (n^3+5n)+ (3n^2+3) =(n^3+5n)+ 3(n^2+1) второе слагаемое делится на 3 при любых n, осталось доказать, что первое слагаемое кратно 3 при любых n Разобьём все числа на три класса 1) 3к 2) 3к+1 3) 3к+2 Каждое натуральное число принадлежит какому-то одному классу 1) n^3+5n=(3к) ^3+5(3к) = 3 ( 9к^3)+5к) то есть числа этого класса являются делителями данного выражения 2) n^3+5n = (3к+1)^3+5(3к+1)= 27к^3+ 27к^2+9к+1+15к+5 = 27к^3+ 27к^2+24к+6 = 3( 9к^3+ 9к^2+8к+2) данное выражение делится на 3 и для чисел этого класса 3) n^3+5n = (3к+2)^3+5(3к+2)= = 27к^3+ 54к^2+36к+8+15к+10 = 27к^3+ 54к^2+51к+18 =3( 9к^3+ 18к^2+17к+6) данное выражение делится на 3 и для чисел вида (3к+2 ) вывод число (n^3+3n^2+5n+3) делится на 3 при любом n принадлещажее к N Второе задание 2n^3-3n^2+n = n( 2n^2-3n+1) = n(n-1)(2n-1) n(n-1)-это произведение двух последовательных натуральных чисел и одно из них делится на 2, значит выражение 2n^3-3n^2+n делится на 2 при любом n принадлещажее к N ( n>1) Самостоятельно докажи, как в первом примере, что данное выражение делится на 3 для этого нужно доказать делимость на 3 выражения 2n^3+n
ответ : -23.
2) ( 4cos(3π- β) - sin(3π/2+ β) )/5cos(β -π) = (- 4cos β +cosβ)/(-5cosβ) = (-3cosβ)/(-5cosβ) =3/5.
* * * cos(3π- β) = cos(2π+π- β) = cos(π- β) = - cosβ ;
cos(β -π) = cos(-(π-β))=cos(π-β) = - cosβ * * *
ответ : 3/5. ≡ 0,6.
3) найти tg²α , если 6sin²α+10cos²α=7.
6sin²α+10cos²α=7;
6(sin²α+cos²α) +4cos²α =7;
6*1 +4cos²α =7 ;
cos²α =1/4 ;
1/(1+tq²α) =1/4 ;
1+tq²α =4;
tq²α =3.
ответ : 3..
4) (4cosα-6sinα)/(3sinα-cosα) , если tgα=3 .
(4cosα-6sinα)/(3sinα-cosα) = ||числитель и знаменатель разделим на cosα ≠0 ||
=(4 -6tqα)/(3tqα -1) = || при tgα=3 || =(4 -6*3).(3*3-1) =-14/8 = -7/4.
* * * cosα ≠0 иначе не имел бы смысл tgα=sinα/cosα и (m+n)/k =m/k + n/k * * *
ответ : -7/4.
5) 5cos(2π+β)+2sin(3π/2+β) ,если cos β= -2/3 .
5cos(2π+β)+2sin(3π/2+β) =5cosβ -2cosβ = 3cosβ=3*(-2/3)= -2 .
ответ : -2.