Question

Линейный оператор A:ℝ4 → ℝ4 в базисе 1, 2, 3, 4 имеет матрицу
A. Найдите ранг и дефект, базис ядра и образа данного оператора.
B. Найдите собственные числа и собственные векторы данного оператора.
C. Найдите матрицу данного оператора в базисе

Answer 1

играй в фри фаер и все будет круто и хорошо

Answer 2

Для начала, давайте разберемся, что представляет собой линейный оператор A: ℝ4 → ℝ4. Это означает, что оператор преобразует векторы из четырехмерного пространства ℝ4 в другие векторы того же пространства.

Теперь, заданная матрица описывает линейный оператор в базисе {1, 2, 3, 4}. Для нахождения ранга и дефекта данного оператора и базиса его ядра и образа, нужно проанализировать данную матрицу.

A = [2 1 1 1; 0 1 2 3; 1 0 1 0; 1 1 0 1]

Ранг оператора равен максимальному количеству линейно независимых столбцов или строк в его матрице. Для нахождения ранга, приведем данную матрицу к ступенчатому виду методом элементарных преобразований:

[2 1 1 1] [1 0 0 0]
[0 1 2 3] => [0 1 0 1]
[1 0 1 0] [0 0 1 -1]
[1 1 0 1] [0 0 0 0]

Видно, что первые три столбца матрицы линейно независимы, а последний столбец выражается через остальные. Следовательно, ранг оператора A равен 3.

Дефект оператора равен разности размерности пространства и ранга оператора. В данном случае, размерность пространства ℝ4 равна 4, а ранг оператора равен 3. Следовательно, дефект оператора равен 4 - 3 = 1.

Теперь найдем базис ядра оператора. Ядро оператора A составляют все векторы x такие, что Ax = 0. Подставим в матричное уравнение Ax = 0 переменные x1, x2, x3, x4 и решим его:

[2 1 1 1][x1] [0]
[0 1 2 3][x2] = [0]
[1 0 1 0][x3] [0]
[1 1 0 1][x4] [0]

Приведем систему к ступенчатому виду:

[1 0 1 0 ][x1] [0]
[0 1 2 3 ][x2] = [0]
[0 0 -1 1][x3] [0]
[0 0 0 0 ][x4] [0]

Из последней строки видно, что x4 не зависит от остальных переменных и может быть произвольным. Возьмем x4 = 1 и решим систему:

x1 + x3 = 0
x2 + 2x3 + 3x4 = 0
-x3 + x4 = 0

x3 = 1, x1 = -1, x2 = -5, x4 = 1

Таким образом, базис ядра оператора A состоит из одного вектора [-1, -5, 1, 1].

Найдем образ оператора A. Образ оператора A составляют все векторы b такие, что найдется вектор x, для которого Ax = b. Мы можем представить образ оператора A в виде линейной комбинации столбцов его матрицы. Поскольку образ оператора - это подпространство, его базис можно получить из линейно независимых столбцов матрицы, соответствующих ведущим переменным в ступенчатом виде матрицы оператора A.

Видно, что ведущими переменными являются x1, x2 и x3. Получим образ оператора A, используя первые три столбца матрицы:

Образ(A) = lin{[2, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 1], [1, 2, 1, 0]}.

Теперь перейдем к вопросу B - поиску собственных чисел и собственных векторов оператора A.
Собственное число - это число λ, для которого найдется ненулевой вектор x такой, что Ax = λx.

Для нахождения собственных чисел и собственных векторов, нужно решить характеристическое уравнение оператора A. Характеристическое уравнение определяется как det(A - λI) = 0, где A - матрица оператора A, λ - неизвестное собственное число, I - единичная матрица.

В данном случае, матрица оператора A уже дана, поэтому, вычислим определитель матрицы A - λI:

|2-λ 1 1 1 |
| 0 1-λ 2 3 |
| 1 0 1-λ 0 |
| 1 1 0 1-λ |

Выполним разложение по первому столбцу:

|(2-λ) 1 1 1 |
| 0 (1-λ) 2 3 |
| 1 0 (1-λ) 0 |
| 1 1 0 (1-λ)|

(2-λ) * (1 - (-1) * (1-λ) - 0) - 1 * (1 * (1-λ) - 0) + 1 * (1 * 0 - 0 * (1-λ)) = 0

(2-λ) * (1 - (1-λ)) - (1-λ) = 0

(2-λ) * 1 + (1-λ) = 0

2 - λ + 1 - λ = 0

3 - 2λ = 0

2λ = 3

λ = 3/2

Таким образом, собственное число оператора A равно 3/2.

Чтобы найти собственные векторы, нужно решить систему уравнений (A - λI)x = 0, где A - матрица оператора A, λ - найденное собственное число, I - единичная матрица.

Подставим найденное собственное число в характеристическое уравнение оператора A:

(2-λ)x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x2 + (1-λ)x3 + 2x4 = 0
x1 + (1-λ)x3 + x4 = 0
x1 + x2 + (1-λ)x3 + x4 = 0

Подставим λ = 3/2 и решим систему:

(2 - 3/2)x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x2 + (1 - 3/2)x3 + 2x4 = 0
x1 + (1 - 3/2)x3 + x4 = 0
x1 + x2 + (1 - 3/2)x3 + x4 = 0

(4/2 - 3/2)x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x2 + (2/2 - 3/2)x3 + 2x4 = 0
x1 + (2/2 - 3/2)x3 + x4 = 0
x1 + x2 + (2/2 - 3/2)x3 + x4 = 0

(1/2)x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x2 - (1/2)x3 + 2x4 = 0
x1 - (1/2)x3 + x4 = 0
x1 + x2 - (1/2)x3 + x4 = 0

Приведем систему к ступенчатому виду:

(1/2)x1 + x2 + x3 + x4 = 0
0 + (1/2)x3 + 2x4 = 0
0 + 0 + (1/2)x3 + x4 = 0
0 + 0 + 0 + 0 = 0

Из последней строки видно, что x4 не зависит от остальных переменных и может быть произвольным. Возьмем x4 = 1 и решим систему:

(1/2)x1 + x2 + x3 + 1 = 0
(1/2)x3 + 2 = 0
(1/2)x3 + 1 = 0

x3 = -2, x1 = -1, x2 = -1, x4 = 1

Таким образом, для собственного числа λ = 3/2 собственный вектор равен [-1, -1, -2, 1].

Теперь перейдем к вопросу C - нахождению матрицы оператора A в базисе. Для этого используем формулу A' = P^(-1) * A * P, где A' - матрица оператора в новом базисе, A - матрица оператора в исходном базисе, P - матрица перехода от исходного базиса к новому базису, P^(-1) - обратная матрица к матрице P.

Матрица перехода можно получить путем записи новых базисных векторов в качестве столбцов матрицы:

P = [1 -1 -1 -1; 1 -1 -1 0; 0 1 0 1; -1 0 1 0]

Теперь найдем обратную матрицу P^(-1):

P^(-1) = [0 0 1 1; 0 0 0 1; 0 -1 -1 1; 0 -1 -1 0]

Теперь умножим матрицы:

A' = P^(-1) * A * P

Посчитаем:

A' = [0 0 1 1; 0 0 0 1; 0 -1 -1 1; 0 -1 -1 0] *
[2 1 1 1; 0 1 2 3; 1 0 1 0; 1 1 0 1] *
[1 -1 -1 -1; 1 -1 -1 0; 0 1 0 1; -1 0 1 0]

A' = [2 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0]

Таким образом, матрица оператора A в новом базисе равна:

A' = [2 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0]

Надеюсь, этот ответ был максимально подробным и разъяснил все этапы решения. Если у вас возникнут еще вопросы или потребуется дополнительное объяснение, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь.