Question

Найдите все такие значения a, при каждом из которых неравенство
2
(
1
−
a
)
⋅
9
2
x
+
a
<
1
+
(
2
+
a
)
⋅
3
4
x
+
1
не имеет решений.

Вставьте пропущенные элементы.

Answer 1

Для начала рассмотрим неравенство в данной задаче:

2(1 − a) ⋅ 92x + a < 1 + (2 + a) ⋅ 34x + 1

Преобразуем его для удобства решения:

2(1 − a) ⋅ 92x + a < 1 + 34x + 68x + a ⋅ 34x + 1

Упростим выражение в неравенстве:

2(1 − a) ⋅ 92x + a < 69x + 68x + 2a ⋅ 34x + 2

Раскроем скобки:

2 ⋅ 1 ⋅ 92x - 2a ⋅ 92x + a < 69x + 68x + 2 ⋅ a ⋅ 34x + 2

Упростим полученное выражение:

18x - 18ax + a < 137x + 68x + 68ax + 2

Сгруппируем по переменной x и скобкам:

-55x + (50ax - 2ax) < -68ax - a + 2

Упростим выражение и перенесем все влево:

-55x + 50ax - 2ax + 68ax + a < -a + 2

Сгруппируем и упростим снова:

(50ax - 2ax + 68ax - 55x) + a < -a + 2

Сократим подобные слагаемые и перенесем -a на правую сторону:

116ax - 55x + 2a < 2

Теперь рассмотрим два случая, в которых данное неравенство не имеет решений:

1. Если коэффициент при x равен нулю (116a = 0) и при этом результат неравенства всегда будет меньше 2:

116a - 55x + 2a < 2

2a(58 - 55x) < 0

58 - 55x < 0

x > 58/55

Из этого следует, что неравенство не имеет решений при a = 0 и x > 58/55.

2. Если коэффициент при a равен нулю (116ax = 0) и при этом результат неравенства всегда будет меньше 2:

116ax - 55x + 2a < 2

116ax - 55x < 2 - 2a

116x(1 - 55a) < 2(1 - a)

58x(1 - 55a) < 1 - a

58x < (1 - a)/(1 - 55a)

x < (1 - a)/(58 - 55a)

Из этого следует, что неравенство не имеет решений при a = 1/55 и x < (1 - 1/55)/(58 - 55/55) = 54/55.

Таким образом, решениями данного неравенства будут все значения a, за исключением a = 0 и a = 1/55.