Question

Скільки різних трицифрових чисел, у запису яких є тільки непарні цифри, можна скласти, якщо цифри в числі не повторюються​

Answer 1

Відповідь:

60 МОЖЛИВИХ РОЗМІЩЕНЬ!

Роз'яснення:

1) Всього непарних чисел є п'ять: 1, 3, 5, 7, 9. Питається: скільки трицифрових чисел можна скласти із цих 5 непарних чисел? При цьому числа повинні не повторюватись. Останнє означає, що числа, до прикладу, 555, 551, 551, 115, 177, 133 і т.д. - неможливі, адже в них повторюються 5, 1, 7 і 3 два чи більше разів! До речі, якщо треба скласти трицифрові числа із 5 непарних, тоді і самі трицифрові числа будуть непарними, адже парних немає!

2) Означення розміщення таке: "Кожна впорядкована підмножина, яка містить k елементів даної множини з n елементів, називається розміщенням (accommodation) із n по k елементів. Таким чином, два різних розміщення із даних n елементів по k відрізняються один від одного або складом елементів, або порядком їх розміщення." Такі комбінації чисел нам підходять!

Всього n елементів в нас 5 - це непарні числа; а k елементів, які ми хочемо скласти із 5 непарних чисел, тобто з n, є 3; для прикладу візьмемо довільні два числа, нехай це будуть 135 і 153. - 135 відрізняється від 153 лише порядком розміщення, ми "перетасували" десятки і одиниці. Чи можемо ми вважати такі числа розміщенням із n елементів, тобто з п'яти непарних чисел, по k елементів, тобто із будь-яких трьох чисел, складених із n непарних чисел? - Так, виходячи з означення. Ба більше, числа 135 і 137 - це також одні із сполук розміщення, і вони також будуть враховуватися (виходячи з означення, адже вони відрізняються складом елементів).

Тобто нас просять знайти всі такі трицифрові числа, в яких будуть, по-перше, лише непарні числа (їх 5); по-друге, числа (непарні), які не повторюються (111 чи 117 - не підходять!); і по-третє, числа, склад елементів яких різний (153 чи 159 - "Всьо пучком"). АЛЕ ВСІ ЦІ ЦИФРИ ПОВИННІ БУТИ НЕПАРНИМИ! (їх п'ять, до речі)

3) Таку махінацію можна було б проробити на листочку, що я Вам і рекомендую, щоб переконатися, що формула не бреше. Але ми нею і скористаємося, а для підтвердження її правильності, я додам малюнок із цими розміщеннями.

4) Отож, число розміщень із n елементів по k позначається символом $A_{n}^k$ (arrangement (франц.) - розміщення). Число всіх можливих розміщень із n елементів по k дорівнює добутку k послідовних чисел, з яких найбільшим є n, тобто: $A_{n}^k = n *(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)$ (1). Цією формулою варто користуватися при числових розрахункам, що нам і підійде, але зазвичай просять запам'ятати іншу. Виведемо її, поділивши нашу 1 формулу на $(n-k)!$ маємо:

$A_{n}^k = \frac{n *(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)*(n-k)*...*1}{(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!}$ (2).

5) Скористаємося першою формулою, пам'ятаючи, що n = 5 (усі непарні числа), а m = 3 (непарні трицифрові числа із 5 непарних): $A_{n}^k = 5 * 4 * 3 = 60$. Тобто всього чисел, які складені з 5 непарних чисел 1, 3, 5, 7, 9, але водночас які є трицифровими - рівно 60.