Question

с алгеброй!
Делится ли 7^2017 + 4 ^2018 + 3 ^ 2019 на 10? Полностью обоснуйте свой ответ.

Answer 1

Число делится на 10 только в том случае, если оно оканчивается цифрой 0.

Посмотрим, какой цифрой оканчивается каждое слагаемое.

1) число 7 в разных степенях оканчивается разными цифрами. Попробуем установить закономерность.

$7^1=7,\\7^2=49,\\7^3=343,\\7^4=2401,\\7^5=16807,...$

Т.е. последние цифры записи степеней семерки чередуются так: 7 - 9 - 3 - 1 и по кругу.

Т.к. $7^4$ оканчивается цифрой 1, то $7^{2016}$ также оканчивается цифрой 1. Тогда число $7^{2017}$ оканчивается цифрой 7.

2) Для степеней четверки закономерность проще - 4 - 6 и по кругу:

$4^1=4,\\4^2=16,\\4^3=64,\\4^4=256,...$

Поскольку $4^2$ оканчивается цифрой 6, то  $4^{2018}$ также оканчивается цифрой 6.

3) Закономерность для степеней тройки - 3 - 9 - 7 - 1 и по кругу:

$3^1=3,\\3^2=9,\\3^3=27,\\3^4=81,\\3^5=243,...$

Т.к. $3^3$ оканчивается цифрой 7, то $3^{2019}$ также оканчивается цифрой 7.

В итоге слагаемые $7^{2017}, 4^{2018}, 3^{2019}$ оканчиваются цифрами 7, 6 и 7 соответственно. Если их сложить, то в разрядке единиц класса единиц получим 0. Т.е. число $7^{2017}+4^{2018}+3^{2019}$ оканчивается цифрой 0 - следовательно, оно таки делится на 10.

ОТВЕТ: да.