Question

На доске написали число 2020! = 1 · 2 · 3 · . . . · 2019 · 2020, затем сложили в этом числе все цифры. Получили новое число, у которого опять сложили все цифры и т.д. В конце получили однозначное число. Какое?

Answer 1

Сумма цифр числа дает один и тот же остаток при делении на 9, что и само число.

И правда: пусть число имеет вид $A=\overline{a_na_{n-1}...a_0}$. Тогда $A=a_n*10^n+a_{n-1}*10^{n-1}+...+a_1*10+a_0=a_n*(9+1)^n+a_{n-1}*(9+1)^{n-1}+...+a_1*(9+1)+a_0\equiv a_n*1^n+a_{n-1}*1^{n-1}+...+a_1*1+a_0=a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0\:(mod\:9)$

Ч.т.д.

А значит, применяя к числу 2020! приведенную в условии операцию, мы будем получать на каждом шаге числа, дающие тот же остаток при делении на 9, что и 2020!. Т.к. 2020>9, то 2020! делится на 9.

Из однозначных чисел на 9 делятся только 0 и 9. Т.к. сумма цифр числа равна 0 только у числа 0, то последним осталось число 9.