Question

Решить уравнение sin^20(x)+cos^13(x)=1

Answer 1

Поскольку $\sin x$ и $\cos x$ не превышают единицы по модулю, то для любых натуральных $mn$ верно $\sin^mx\leq \sin^n x,\; \cos^mx\leq\cos^nx$. Поэтому $\sin^{20}x\leq \sin^2 x$, $\cos^{13} x\leq \cos^2x$. Складывая оба неравенства, получаем $\sin^{20}x+\cos^{13}x\leq \sin^2x+\cos^2x=1$ с равенством тогда и только тогда, когда или синус (или косинус) равен нулю, а косинус (или синус +-1) равен 1. Итак, решения следующие: $x=2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$, $x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}$.