Первый шаг в решении таких уравнений - угадать корень. Угадаем один из его корней. Делаем это на основе следующего утверждения. Если рациональное с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, то искать его нужно только среди делителей свободного члена. Свободный член равен -6. Его делители: +-1; +-2; +-3; +-6 Среди них должен быть корень уравнения. Давайте сделаем проверку. Ну что делаем? Просто берём по очереди каждый из делителей -6 и подставляем в уравнение, проверяя, где выполнится равенство. Раньше или позже, но мы увидим, что при x = 2 выполняется 0 = 0, что верно. То есть, x = 2 - один из целых корней уравнения. Славно, один корень мы нашли. Теперь воспользуемся теоремой Безу. Она гласит, что если уравнение, написанное выше, имеет корень x0, то многочлен в левой части без остатка делится на x-x0. То есть, наш многочлен в левой части без остатка делится на x - 2. Давайте разделим. Можно по схеме Горнера это сделать, найти коэффициенты при новых степенях уравнения. А можно и обыкновенным, дубовым, делением в уголок. Итак, сейчас скажу, что у меня вышло. Сам принцип деления за бортом, если будут вопросы, напишите. Итак, поделили, получили, что левая часть равна (x-2)(x^3 + 4x^2 + 4x + 3) = 0 Боюсь, что нам придётся повторить этот приём, дабы ещё понизить степень хотя бы до второй. x^3 + 4x^2 + 4x + 3 = 0 Вновь пытаемся угадать корень уже этого уравнения. Кандидаты на ответ: +-1; +-3 Пытаемся проверкой угадать нужный корень. Выясняем, что при x = -3 выполняется верное равенство. Значит, x = -3 - корень этого уравнения и уже этот многочлен я делю по теореме Безу на x + 3. Делим уголком или по схеме Горнера, получаем в итоге. (x-2)(x+3)(x^2 + x - 1) = 0 Ну и теперь видим произведение нормальное, только вторая 1 первая степени у нас тут. Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. x - 2 = 0 или x + 3 = 0 или x^2+x-1=0 x = 2 x = -3 D = 1 + 4 = 5 x1 = (-1-sqrt(5))/2 x2 = (-1 + sqrt5)/2 Вот полученные 4 корня и есть корни исходного уравнения. Уравнение решено.
Ну во-первых. Это уравнение квадратное на первый взгляд, ведь квадрат же у нас есть. Тем не менее, это неверно. Если коэффициент при x^2 обратится в 0, то уравнение вообще не будет квадратным, оно будет линейным. Поэтому, рассмотрим вначале этот случай. 1)Пусть p - 1 = 0 p = 1 Тогда уравнение обретает вид: -2x + 1 = 0. Уравнение это всегда имеет один корень, поэтому p =1 нам подходит. 2)Пусть p не равен 1. Тогда уравнение будет всегда квадратным. Когда же квадратное уравнение имеет корни? А тогда, когда его дискриминант неотрицателен. D = 4p^2 - 4p(p-1) = 4p^2 - 4p^2 + 4p = 4p Условие задачи будет выполнено, если D >= 0 4p >= 0 p >= 0 - это ответ задачи.
Если рациональное с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, то искать его нужно только среди делителей свободного члена.
Свободный член равен -6.
Его делители: +-1; +-2; +-3; +-6
Среди них должен быть корень уравнения. Давайте сделаем проверку.
Ну что делаем? Просто берём по очереди каждый из делителей -6 и подставляем в уравнение, проверяя, где выполнится равенство.
Раньше или позже, но мы увидим, что при x = 2 выполняется 0 = 0, что верно. То есть, x = 2 - один из целых корней уравнения.
Славно, один корень мы нашли. Теперь воспользуемся теоремой Безу. Она гласит, что если уравнение, написанное выше, имеет корень x0, то многочлен в левой части без остатка делится на x-x0. То есть, наш многочлен в левой части без остатка делится на x - 2. Давайте разделим. Можно по схеме Горнера это сделать, найти коэффициенты при новых степенях уравнения. А можно и обыкновенным, дубовым, делением в уголок. Итак, сейчас скажу, что у меня вышло. Сам принцип деления за бортом, если будут вопросы, напишите.
Итак, поделили, получили, что левая часть равна
(x-2)(x^3 + 4x^2 + 4x + 3) = 0
Боюсь, что нам придётся повторить этот приём, дабы ещё понизить степень хотя бы до второй.
x^3 + 4x^2 + 4x + 3 = 0
Вновь пытаемся угадать корень уже этого уравнения. Кандидаты на ответ: +-1; +-3
Пытаемся проверкой угадать нужный корень. Выясняем, что при x = -3 выполняется верное равенство. Значит, x = -3 - корень этого уравнения и уже этот многочлен я делю по теореме Безу на x + 3.
Делим уголком или по схеме Горнера, получаем в итоге.
(x-2)(x+3)(x^2 + x - 1) = 0
Ну и теперь видим произведение нормальное, только вторая 1 первая степени у нас тут. Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0.
x - 2 = 0 или x + 3 = 0 или x^2+x-1=0
x = 2 x = -3 D = 1 + 4 = 5
x1 = (-1-sqrt(5))/2
x2 = (-1 + sqrt5)/2
Вот полученные 4 корня и есть корни исходного уравнения. Уравнение решено.