Question

Каким должно быть значение числа q, чтобы прямая -x-2y + q = 0 была нормалью к графику y = -3x² + 8x + 4?

Answer 1

19

Объяснение:

$f(x)=-3x^2+8x+4$

угловой коэффициент нормали в точки x=a:

$k_1=-\frac{1}{f'(a)}$

$f'(x)=(-3x^2+8x+4)'=-6x+8 \\ f'(a)=-6a+8 \\ \\ k_1=-\frac{1}{-6a+8}$

Также известно, что нормалью является прямая:

$-x-2y+q=0 \ \Rightarrow \ 2y=-x+q \ \Rightarrow \ y=\frac{-x+q}{2} \ \Rightarrow \ y=-\frac{1}{2}x+\frac{q}{2}$

Откуда k₂=-1/2

$k_1=k_2 \\ \\ -\frac{1}{-6a+8} =-\frac{1}{2} \\ \\ -6a+8=2 \\ 6a=6 \\ a=1$

Уравнение нормали в точке x=a:

$y=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)+f(a) \\ \\ y=-\frac{1}{-6a+8} (x-a)+(-3a^2+8a+4) \\ \\ a=1 \ \Rightarrow \ y=-\frac{1}{-6+8}(x-1)+(-3+8+4) \\ \\ y=-\frac{1}{2}(x-1)+9 \\ \\ y=- \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+9 \\ \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{19}{2}$

Тогда

$-\frac{1}{2}x+\frac{q}{2} =-\frac{1}{2}x+\frac{19}{2} \ \Rightarrow \ q=19$